Discussione integrale improprio
Ho questo integrale improprio:
$ int_(0)^(1) (xlog(x)(senx)^a) dx$
L esercizio chiede: Discutere la convergenza di tale integrale.
Siccome il mio professore non spiega mai nulla, non ho idea di come partire
Come si fa?
$ int_(0)^(1) (xlog(x)(senx)^a) dx$
L esercizio chiede: Discutere la convergenza di tale integrale.
Siccome il mio professore non spiega mai nulla, non ho idea di come partire
Come si fa?
Risposte
premesso che solo lo $0$ può darci problemi ,per un noto teorema l'integrale diverge per quei valori di $a$ per i quali,per
$x rarr 0$,l'integrando è un infinito di ordine maggiore o uguale ad 1
$x rarr 0$,l'integrando è un infinito di ordine maggiore o uguale ad 1
Consideriamo l'integrale
\[\int_{0}^{1} x\ln x \left(\sin x\right)^a \,\,dx;\]
la prima cosa che si può osservare che, nell'intervallo $(0;1]$ la funzione integranda presenta una singolarità in $x=0,$ punto in cui il logaritmo evidentemente non è dfinito, pertanto si tratta di un integrale improprio; considerando poi che la funzone integranda risulta di segno costante nell'itervallo di integrazione, è possibile applicare i criteri noti per gli integrali impropri. Vista la presenza del parametro $a\in \RR,$ conviene distingure i vari casi:
\[\int_{0}^{1} x\ln x \left(\sin x\right)^a \,\,dx;\]
la prima cosa che si può osservare che, nell'intervallo $(0;1]$ la funzione integranda presenta una singolarità in $x=0,$ punto in cui il logaritmo evidentemente non è dfinito, pertanto si tratta di un integrale improprio; considerando poi che la funzone integranda risulta di segno costante nell'itervallo di integrazione, è possibile applicare i criteri noti per gli integrali impropri. Vista la presenza del parametro $a\in \RR,$ conviene distingure i vari casi:
[*:mncb9h62] se $a=0$ l'intergale diviene
\[\int_{0}^{1} x\ln x \,\,dx,\]
che dovresti riconoscere ...[/*:m:mncb9h62]
[*:mncb9h62] se $a>0$ l'intergale diviene
\[\int_{0}^{1} x\ln x \left(\sin x\right)^a \,\,dx,\]
e quindi si tratta di capire se e con quale ordine va a zero il limite
\[\lim_{x\to 0^+}x\ln x \left(\sin x\right)^a;\][/*:m:mncb9h62]
[*:mncb9h62] se $a<0$ l'intergale diviene
\[\int_{0}^{1} \frac{x\ln x} {\left(\sin x\right)^\beta} \,\,dx,\qquad \beta>0\]
e quindi anche quisi tratta di capire se e con quale ordine va a zero il limite
\[\lim_{x\to 0^+}\frac{x\ln x} {\left(\sin x\right)^\beta},\qquad \beta>0.\]
[/*:m:mncb9h62][/list:u:mncb9h62]
io però direi che nell'ultimo caso ci interessa vedere per quali valori di $beta$ l'integrando sia un infinito di ordine maggiore o uguale a 1
nel secondo caso va sempre a zero e non ci interessa con quale ordine
nel secondo caso va sempre a zero e non ci interessa con quale ordine
"stormy":
io però direi che nell'ultimo caso ci interessa vedere con quale ordine va all'infinito l'integrando
che è lo stesso per concludere!
"stormy":
nel secondo caso va sempre a zero e non ci interessa con quale ordine
...ma ci interessa mettere in evidenza che, in quanto continua in zero, risulta integrabile. Tutto li
"Noisemaker":
che è lo stesso per concludere!
perdonami ma non sono d'accordo
perchè l'integrale converge anche se l'integrando è un infinito di ordine minore di 1
"stormy":
perdonami ma non sono d'accordo
nessun problema!
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