Discussione convergenza integrale
Premetto che mi sta venendo la nausea da integrali per quanti ne sto facendo e ne dovrò fare 
Ora ho iniziato una nuova tipologia di esercizi: discutere la convergenza di integrali impropri.
A dir la verità però non ho capito molto bene come si fanno
come esempio riporto due esercizi
1_ $ int_(1)^(+oo) (x+e^(-x))/(x^2+x+1) dx $
Da quello che ho capito devo studiare il comportamento asintotico della funzione in un intorno dei punti di discontinuità o dell'estremo non finito, quindi in questo caso mi dovrei studiare il comportamento asintotico in un intorno di $+oo$.
Qui ho al denominatore l'esponenziale per il quale $ lim_(x->oo)e^x=oo $, quindi mi dovrebbe assicurare che l'integrale, in un intorno di $+oo$, converge. Non essendoci punti di discontinuità dovrei poter concludere così, ossia confermando che l'integrale in questione converge.
2_ $ int_(2)^(+oo) (sqrt(x+2)-2)/(x^2-3x+2) dx $
Qui, oltre ad avere un estremo non finito, ho un punto di discontinuità in 2. Quindi mi calcolo il limite della funzione una volta con $x->oo$ e una volta con $x->2$?
Sul calcolo degli integrali impropri ormai non credo di avere problemi, l'unica cosa che non riesco a capire è come fare questa discussione sulla convergenza...
p.s
spero di non aver fatto errori e mi scuso se ho scritto male in 'matematichese' ma con i termini devo ancora prenderci la mano e per alcuni capire ancora fino in fondo il loro significato
Ora ho iniziato una nuova tipologia di esercizi: discutere la convergenza di integrali impropri.
A dir la verità però non ho capito molto bene come si fanno
come esempio riporto due esercizi
1_ $ int_(1)^(+oo) (x+e^(-x))/(x^2+x+1) dx $
Da quello che ho capito devo studiare il comportamento asintotico della funzione in un intorno dei punti di discontinuità o dell'estremo non finito, quindi in questo caso mi dovrei studiare il comportamento asintotico in un intorno di $+oo$.
Qui ho al denominatore l'esponenziale per il quale $ lim_(x->oo)e^x=oo $, quindi mi dovrebbe assicurare che l'integrale, in un intorno di $+oo$, converge. Non essendoci punti di discontinuità dovrei poter concludere così, ossia confermando che l'integrale in questione converge.
2_ $ int_(2)^(+oo) (sqrt(x+2)-2)/(x^2-3x+2) dx $
Qui, oltre ad avere un estremo non finito, ho un punto di discontinuità in 2. Quindi mi calcolo il limite della funzione una volta con $x->oo$ e una volta con $x->2$?
Sul calcolo degli integrali impropri ormai non credo di avere problemi, l'unica cosa che non riesco a capire è come fare questa discussione sulla convergenza...
p.s
spero di non aver fatto errori e mi scuso se ho scritto male in 'matematichese' ma con i termini devo ancora prenderci la mano e per alcuni capire ancora fino in fondo il loro significato
Risposte
ad esempio,esercizio 1 : a $+infty$ l'integrando è asintotico a $1/x$ e quindi l'integrale diverge
Secondo integrale $ int_2^(+oo)(sqrt(x+2)-2)/(x^2-3x+2)$
Valutiamo comportamento asintotico della funzione integranda per $x rarr +oo $.
Per $x rarr +oo $ è asintotica a $ sqrt(x)/x^2= 1/x^(3/2 ) $ e quindi converge essendo $3/2 > 1 $ ok ?
Ora consideriamo quando $x rarr 2 $.Sia numeratore che denominatore tendono a $0 $.
Fattorizzo il denominatore sfruttando le radici del trinomio e quindi :$x^2-3x+2 =(x-2)(x-1)$.
Per il numeratore operiamo una specie di " razionalizzazione " moltiplicando e dividendo la frazione per $sqrt(x+2)+2 $ ottenendo : $ ((sqrt(x+2)-2)(sqrt(x+2)+2))/((x-2)(x-1)(sqrt(x+2)+2 ) )= (x-2)/((x-2)(x-1)(sqrt(x+2)+2))=1/((x-1)(sqrt(x+2)+2)) $ che per $x rarr 2 $ tende a $1/4 $ , valore finito e quindi l'integrale converge. OK ?
Valutiamo comportamento asintotico della funzione integranda per $x rarr +oo $.
Per $x rarr +oo $ è asintotica a $ sqrt(x)/x^2= 1/x^(3/2 ) $ e quindi converge essendo $3/2 > 1 $ ok ?
Ora consideriamo quando $x rarr 2 $.Sia numeratore che denominatore tendono a $0 $.
Fattorizzo il denominatore sfruttando le radici del trinomio e quindi :$x^2-3x+2 =(x-2)(x-1)$.
Per il numeratore operiamo una specie di " razionalizzazione " moltiplicando e dividendo la frazione per $sqrt(x+2)+2 $ ottenendo : $ ((sqrt(x+2)-2)(sqrt(x+2)+2))/((x-2)(x-1)(sqrt(x+2)+2 ) )= (x-2)/((x-2)(x-1)(sqrt(x+2)+2))=1/((x-1)(sqrt(x+2)+2)) $ che per $x rarr 2 $ tende a $1/4 $ , valore finito e quindi l'integrale converge. OK ?
"quantunquemente":
ad esempio,esercizio 1 : a $+infty$ l'integrando è asintotico a $1/x$ e quindi l'integrale diverge
la $e$ quindi non la si considera e si osservano solo le x?
"Camillo":
Secondo integrale $ int_2^(+oo)(sqrt(x+2)-2)/(x^2-3x+2) $
Valutiamo comportamento asintotico della funzione integranda per $ x rarr +oo $.
Per $ x rarr +oo $ è asintotica a $ sqrt(x)/x^2= 1/x^(3/2 ) $ e quindi converge essendo $ 3/2 > 1 $ ok ?
In pratica essendo $x->+oo$ considero solo le $x$ e mi riconduco all'integrale improprio notevole $1/(x^alpha)$ ed essendo $alpha>1$ converge
"Camillo":
Ora consideriamo quando $ x rarr 2 $.Sia numeratore che denominatore tendono a $ 0 $.
Fattorizzo il denominatore sfruttando le radici del trinomio e quindi :$ x^2-3x+2 =(x-2)(x-1) $.
Per il numeratore operiamo una specie di " razionalizzazione " moltiplicando e dividendo la frazione per $ sqrt(x+2)+2 $ ottenendo : $ ((sqrt(x+2)-2)(sqrt(x+2)+2))/((x-2)(x-1)(sqrt(x+2)+2 ) )= (x-2)/((x-2)(x-1)(sqrt(x+2)+2))=1/((x-1)(sqrt(x+2)+2)) $ che per $ x rarr 2 $ tende a $ 1/4 $ , valore finito e quindi l'integrale converge. OK ?
Qui in pratica mi vado a calcolare il limite della funzione per $x->2$ e vedo che la funzione converge.
ok più o meno ci sono, provo a fare altri esercizi simili.
e se, ad esempio in questo secondo esercizio, per $+oo$ convergesse e per $2$ divergesse(non è questo il caso, ma ammettiamo che il limite diverga), l'integrale è indeterminato, giusto?
un'altra cosa...se vedo che l'integrale si può calcolare e l'esercizio mi chiede di discutere la convergenza, è sbagliato fare il calcolo dell'integrale improprio e mostrare in quel modo se converge o meno?
Esercizio 1) Non è che la $ e $ non la consideri! in realtà a numeratore hai $ e^(-x)=1/e^x $ che per $ x rarr +oo $ tende a $ 0 $ e la trascuri rispetto agli altri addendi.
Esercizio 2 )Se $ x rarr +oo $ allora $ sqrt(x+2)$ è asintotico a $sqrt (x) $ in quanto il $+2 $ che hai sotto radice e il $-2 $ che hai fuori radice non gli fanno un baffo !! di frontre a quaalcosa che va a $+oo $ !!
Per $x rarr 2 $ ho cercato di capire a cosa è asintotica la funzione integranda in un intorno di $2 $ ( con qualche trucchetto )
addirittura la funzione converge a un numero finito ; se fosse stata divergente a $oo $ bisognava vedere COME divergeva .
Se fosse stata $ 1/(x-2 ) $ allora l'integrale era divergente ; se fosse stata come $1/sqrt(x-2) $ allora l'integrale sarebbe stato convergente in quanto esponente a denominatore $=1/2 < 1 $ ok ?
Naturalwemte perché un integrale imprpio sia convergente bisogna che lo sia in entrambi gli estremi di integrazione ed anche in tutti i punti compresi nell'intervallo, se ci sono punti critici .
In genere per integrali che vengono proposti come impropri non è possibile calcolare una primitiva.
certo se è possibile la si può calcolare e vedere poi cosa risulta ; però probabilmente si è fatto più lavoro del necessario...
Bastava studiare il comportamenteo della funzione integranda nell'intorno dei punti critici e dei limiti di integrazione.
A meno che l'esercizio chiedesse : se l'integrale è convergente calcolarne il valore.
P.S. Che CdL stai facendo ?
Esercizio 2 )Se $ x rarr +oo $ allora $ sqrt(x+2)$ è asintotico a $sqrt (x) $ in quanto il $+2 $ che hai sotto radice e il $-2 $ che hai fuori radice non gli fanno un baffo !! di frontre a quaalcosa che va a $+oo $ !!
Per $x rarr 2 $ ho cercato di capire a cosa è asintotica la funzione integranda in un intorno di $2 $ ( con qualche trucchetto )
addirittura la funzione converge a un numero finito ; se fosse stata divergente a $oo $ bisognava vedere COME divergeva .Se fosse stata $ 1/(x-2 ) $ allora l'integrale era divergente ; se fosse stata come $1/sqrt(x-2) $ allora l'integrale sarebbe stato convergente in quanto esponente a denominatore $=1/2 < 1 $ ok ?
Naturalwemte perché un integrale imprpio sia convergente bisogna che lo sia in entrambi gli estremi di integrazione ed anche in tutti i punti compresi nell'intervallo, se ci sono punti critici .
In genere per integrali che vengono proposti come impropri non è possibile calcolare una primitiva.
certo se è possibile la si può calcolare e vedere poi cosa risulta ; però probabilmente si è fatto più lavoro del necessario...
Bastava studiare il comportamenteo della funzione integranda nell'intorno dei punti critici e dei limiti di integrazione.
A meno che l'esercizio chiedesse : se l'integrale è convergente calcolarne il valore.
P.S. Che CdL stai facendo ?
ok, ho capito(almeno mi sembra...)
all'1 ho sbagliato nel confronto perchè portando $e$ al denominatore, diventava il termine predominante e perciò mi sballava tutto.
[ot]il problema è che ho scoperto troppo tardi l'esistenza di integrali impropri notevoli, il prof negli esercizi non spiega tutto e spesso quando gli si chiedono spiegazioni usa il termine magia. come professore si vede che è preparato(anche perchè altrimenti non credo si troverebbe dov'è ora) solo che delle volte mi sembra come se fosse troppo preparato per spiegare analisi a ragazzi appena usciti dal liceo, cioè dà molte cose per scontato.[/ot]
comunque sia, grazie mille per l'aiuto
farò altri esercizi e se ci fosse bisogno chiederò spiegazioni
p.s
faccio statistica
all'1 ho sbagliato nel confronto perchè portando $e$ al denominatore, diventava il termine predominante e perciò mi sballava tutto.
[ot]il problema è che ho scoperto troppo tardi l'esistenza di integrali impropri notevoli, il prof negli esercizi non spiega tutto e spesso quando gli si chiedono spiegazioni usa il termine magia. come professore si vede che è preparato(anche perchè altrimenti non credo si troverebbe dov'è ora) solo che delle volte mi sembra come se fosse troppo preparato per spiegare analisi a ragazzi appena usciti dal liceo, cioè dà molte cose per scontato.[/ot]
comunque sia, grazie mille per l'aiuto
farò altri esercizi e se ci fosse bisogno chiederò spiegazioni
p.s
faccio statistica
Senza aprire un altro topic lo scrivo qui
$ int_(-1)^(1) dx/(root(3)(1-cos(x)) $
qui l'unico problema è in $0$, quindi mi faccio un confronto asintotico in un intorno di $0$(si dice così?)
per $x->0$ posso scrivere $cos(x)$ come $1-x^2/2...$ grazie a taylor, quindi lo vado a sostituire nella radice ottenendo $ 1/(root(3)(x^2/2) $, e il limite per $x->0$ a questo punto è $0$, pertanto l'integrale diverge ($1/0$)
è giusto?
$ int_(-1)^(1) dx/(root(3)(1-cos(x)) $
qui l'unico problema è in $0$, quindi mi faccio un confronto asintotico in un intorno di $0$(si dice così?)
per $x->0$ posso scrivere $cos(x)$ come $1-x^2/2...$ grazie a taylor, quindi lo vado a sostituire nella radice ottenendo $ 1/(root(3)(x^2/2) $, e il limite per $x->0$ a questo punto è $0$, pertanto l'integrale diverge ($1/0$)
è giusto?
ripensandoci ora, è corretto nel modo in cui ho fatto prima o in quest altro?
arrivato alla stima asintotica, la vado a porre nell'integrale iniziale ed avendo l'esponente $<1$ concludo che l'integrale converge
arrivato alla stima asintotica, la vado a porre nell'integrale iniziale ed avendo l'esponente $<1$ concludo che l'integrale converge
Esatto , converge perché per $x rarr 0 $ si comporta come $ 1/x^(alpha) $ con $alpha <1 $
Chi volesse esercitasi sugli integrali impropri , qui ne trova alcuni.
viewtopic.php?f=36&t=147805&p=928309#p928309
viewtopic.php?f=36&t=147805&p=928309#p928309
"Camillo":
Chi volesse esercitasi sugli integrali impropri , qui ne trova alcuni.
viewtopic.php?f=36&t=147805&p=928309#p928309
grazie mille
il secondo parziale scritto l'ho fatto oggi e dovrebbe essere andato abbastanza bene, quindi me li vedrò per l'orale(se ci sarà).
al compito c'era da discutere una convergenza, ma non era niente di complicato, in quanto era l'integrale notevole $ int_(1)^(+oo) 1/x^alpha dx $ da studiare al variare di $alpha$.
il secondo esercizio teorico mi ha lasciato un pò spiazzato, infatti alla fine l'ho lasciato, però ripensandoci nel pomeriggio ho capito, forse, il mio errore.
dovevo dimostrare che per $n$ dispari l'integrale $ int x^n e^(-x^2) dx $ si poteva risolvere con funzioni elementari, mentre per $n$ pari con funzioni elementari e l'integrale $ int e^(-x^2) dx $.
Avevo iniziato la dimostrazione mettendo al posto di $n$, $2n+1$ per i dispari e $2n$ per i pari, poi ho scomposto per parti come è ovvio, solo che scomposto una prima volta per parti non vedevo miglioramenti e quindi lasciavo perdere per dedicarmi agli altri esercizi che mi stavano dando qualche problema(una serie e un limite che sono riuscito a risolvere solo dopo la consegna, come ogni tanto mi capita
). Non ho avuto tempo per rifarlo per iscritto, ma credo che continuando per parti alla fine si arrivi a risolvere con funzioni elementari
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