Discretizzare una funzione R(s)
Salve a tutti,
Non riesco a risolvere un esercizio matematico per l'esame di Controlli Automatici.
Viene richiesto di discretizzare R(s) con il metodo di Tustin, utilizzando la sostituzione seguente di s :
$ s =2/T(1−z^(−1))/(1 + z^(−1)) $ , dove T=0.005
$ R(s) = 25*(1.007s + 1)/(
0.02824s+ 1) $ (2)
Il risultato è il seguente:
$ R(z) =(821 − 816.9z^(−1))/(
1 − 0.8373z^(−1)) $ (3)
Ho provato a sostituire la s di Tustin nella equazione (2), ma non mi dà la soluzione cercata.
Il professore ha fornito questo metodo di trasformazione per la R(s) : $ R(z) =(T+2tau_z+(T-2tau_z) z^(−1))/(T+2tau_p+(T-2tau_p)z^(−1) $
Dove $ tau_z=1.007 $ e $ tau_p=0.02824 $. Ma anche in questo caso non riesco ad ottenere la soluzione (3).
Ringrazio anticipatamente per l'aiuto!
Non riesco a risolvere un esercizio matematico per l'esame di Controlli Automatici.
Viene richiesto di discretizzare R(s) con il metodo di Tustin, utilizzando la sostituzione seguente di s :
$ s =2/T(1−z^(−1))/(1 + z^(−1)) $ , dove T=0.005
$ R(s) = 25*(1.007s + 1)/(
0.02824s+ 1) $ (2)
Il risultato è il seguente:
$ R(z) =(821 − 816.9z^(−1))/(
1 − 0.8373z^(−1)) $ (3)
Ho provato a sostituire la s di Tustin nella equazione (2), ma non mi dà la soluzione cercata.
Il professore ha fornito questo metodo di trasformazione per la R(s) : $ R(z) =(T+2tau_z+(T-2tau_z) z^(−1))/(T+2tau_p+(T-2tau_p)z^(−1) $
Dove $ tau_z=1.007 $ e $ tau_p=0.02824 $. Ma anche in questo caso non riesco ad ottenere la soluzione (3).
Ringrazio anticipatamente per l'aiuto!
Risposte
mmm sei sicuro che effettuando la sostituzione con Tustin non ottieni il risultato giusto? Io (per semplice sostituzione) ottengo :
che è parente della soluzione
inoltre, se non ricordo male in quel tipo di esercizi a te interessa vedere anche se la discretizzazione va bene ed in questo caso è evidente che :
quindi tutti i poli e gli zeri del sistema sono interni alla circonferenza unitaria e di conseguenza la discretizzazione è ok. Come ciliegina sulla torta si potrebbe dire che quello zero è quasi sulla frontiera della circonferenza unitaria quindi un piccolo disturbo nel sistema digitale porterebbe (molto probabilmente) ad un errore di ricostruzione nello ZOH di conseguenza sarebbe bene aggiungere un compensatore in cascata (magari un PID) in modo da alzare la soglia di errore. Mi sembra che c'era anche un metodo di progetto che ti consentiva di fare il calcolo diretto ma (a parte il fatto che non me lo ricordo al momento ) probabilmente questo non è richiesto nell'esercizio.
\(\displaystyle R(z) = \frac{-816.932 + 820.999z}{z-0.837} \)
che è parente della soluzione
inoltre, se non ricordo male in quel tipo di esercizi a te interessa vedere anche se la discretizzazione va bene ed in questo caso è evidente che :\(\displaystyle R(z) = \frac{820.999\;(z - 0.995)}{z-0.837} \)
quindi tutti i poli e gli zeri del sistema sono interni alla circonferenza unitaria e di conseguenza la discretizzazione è ok. Come ciliegina sulla torta si potrebbe dire che quello zero è quasi sulla frontiera della circonferenza unitaria quindi un piccolo disturbo nel sistema digitale porterebbe (molto probabilmente) ad un errore di ricostruzione nello ZOH di conseguenza sarebbe bene aggiungere un compensatore in cascata (magari un PID) in modo da alzare la soglia di errore. Mi sembra che c'era anche un metodo di progetto che ti consentiva di fare il calcolo diretto ma (a parte il fatto che non me lo ricordo al momento
) probabilmente questo non è richiesto nell'esercizio.
Grazie mille per la risposta Olram92!
Comunque io per sostituzione non riesco ad ottenere la soluzione. Ottengo questo passaggio e poi mi dà un risultato diverso.
$ 25((2.014(1-z^-1)+T(1-z^-1))/(T(1+z^-1))/((0.05648(1-z^-1)+T(1-z^-1))/(T(1+z^-1)) $
Potresti gentilmente riportare anche solo 1-2 passaggi per arrivare al risultato da te ottenuto?
Grazie ancora!
Comunque io per sostituzione non riesco ad ottenere la soluzione. Ottengo questo passaggio e poi mi dà un risultato diverso.
$ 25((2.014(1-z^-1)+T(1-z^-1))/(T(1+z^-1))/((0.05648(1-z^-1)+T(1-z^-1))/(T(1+z^-1)) $
Potresti gentilmente riportare anche solo 1-2 passaggi per arrivare al risultato da te ottenuto?
Grazie ancora!
Dunque, la sostituzione da fare è (considerando \(\displaystyle T=0.005 \)):
quindi :
tutto chiaro? Ovviamente il risultato è lo stesso di quello che hai fornito infatti prendendo la tua soluzione :
\(\displaystyle s = 400 \; \frac{1-\frac{1}{z}}{1+\frac{1}{z}} = 400\; \frac{z-1}{z+1}\)
quindi :
\(\displaystyle R(z) = 25 \cdot \frac{1.007 \cdot \left(400\; \frac{z-1}{z+1}\right) + 1}{0.02824 \cdot \left(400\; \frac{z-1}{z+1}\right) + 1} = 25 \cdot \frac{402.8z - 402.8 + z +1}{11.296z-11.296+z+1} = 25 \cdot \frac{403.8z-401.8}{12.296z-10.296} \)
\(\displaystyle = \frac{25}{12.296} \cdot \frac{403.8z-401.8}{z-0.837} = 2.033 \cdot \frac{403.8z-401.8}{z-0.837} = \frac{820.9z-816.8}{z-0.837} \sim 821 \; \frac{z-0.99}{z-0.837}\)
tutto chiaro? Ovviamente il risultato è lo stesso di quello che hai fornito infatti prendendo la tua soluzione :
\(\displaystyle R(z) = \frac{821-\frac{816.9}{z}}{1-\frac{0.837}{z}} = \frac{821z-816.9}{z-0.837}\)
Chiarissimo! Grazie mille!!
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