Discontinuità funzioni monotòne

[Cloudy1]

Devo dimostrare il teorema che dice che una funzione monotòna ammette al più una discontinuità di prima specie. Sapete per caso dove posso trovare la dimostrazione di questo teorema, dato che sul mio libro non è presente

Grazie in anticipo
Ciao

[MariaMatematica0]

La dimostrazione la puoi trovare ad esempio in "Elementi di teoria delle funzione e analisi funzionale" di Kolmogorov e Fomin a pagina 317

[dissonance]

"MariaMatematica0":La dimostrazione la puoi trovare ad esempio in "Elementi di teoria delle funzione e analisi funzionale" di Kolmogorov e Fomin a pagina 317

Caspita che riferimento impegnativo! @Cloudy: Secondo me non è una cosa tanto difficile da dimostrare, puoi farlo da solo in pochi minuti; il concetto è: per una funzione monotona (diciamo monotona crescente) per cui $x_0$ sia punto interno al dominio, il $lim_{x \to x_0^-}$ coincide con il $"sup"_{x < x_0}$ e il $lim_{x \to x_0^+}$ coincide con l'$"inf"_{x>x_0}$. Siccome inf e sup esistono sempre esistono sempre anche i due limiti.

In ogni caso non ti voglio assolutamente scoraggiare dal procurarti il libro di Kolmogorov e Fomin, una lettura che di certo non ti farà male!

[MariaMatematica0]

"dissonance":[quote="MariaMatematica0"]La dimostrazione la puoi trovare ad esempio in "Elementi di teoria delle funzione e analisi funzionale" di Kolmogorov e Fomin a pagina 317

Caspita che riferimento impegnativo! @Cloudy: Secondo me non è una cosa tanto difficile da dimostrare, puoi farlo da solo in pochi minuti; il concetto è: per una funzione monotona (diciamo monotona crescente) per cui $x_0$ sia punto interno al dominio, il $lim_{x \to x_0^-}$ coincide con il $"sup"_{x < x_0}$ e il $lim_{x \to x_0^+}$ coincide con l'$"inf"_{x>x_0}$. Siccome inf e sup esistono sempre esistono sempre anche i due limiti.

In ogni caso non ti voglio assolutamente scoraggiare dal procurarti il libro di Kolmogorov e Fomin, una lettura che di certo non ti farà male![/quote]

Beh, sì Tanto poi lì ritrova la stessa dimostrazione più o meno. Naturamente andrebbe giustificato che inf e sup siano finiti, altrimenti non sarebbero punti di discontinuità di prima specie.

[Fioravante Patrone1]

[mod="Fioravante Patrone"]Mi infastidiva leggere tutti quei monòtone nel titolo (nel testo era stato scritto correttamente).
Uno passi, ma tutti no! Così ho corretto tutti i titoli dei post.[/mod]

[Cloudy1]

Ok grazie per la risposta, però non ho quel libro . Comunque si la dimostrazione è semplice ma devo dimostrare che inf e sup siano finiti per la definzione di discontinuità di prima specie.

[Fioravante Patrone1]

"Cloudy":Comunque si la dimostrazione è semplice ma devo dimostrare che inf e sup siano finiti per la definzione di discontinuità di prima specie.

Uh, che cosa difficile!

Sia $f$ definita su un intervallo $I$. Supponiamo che $f$ sia debolmente crescente, tanto per fissare le idee.

Sia $x_0$ come detto da dissonance.

Non è per caso che $f(x) \le f(x_0)$ per $x < x_0$? Ecco allora un maggiorante, per cui il "sup" per $x < x_0$ sarà minore o uguale di $f(x_0)$. Il resto viene da sé.

[Cloudy1]

Grazie

Si sono proprio un principiante in matematica xD

[Mr.Mazzarr]

Riuppo un secondo per chiedere: il teorema della discontinuità delle funzioni monotone dice solo che una funzione monotona può ammettere al massimo un punto di discontinuità eliminabile e di prima specie?