Discontinuità ed integrabilita
Ciao, spero qualcuno mi possa aiutare:
in una vecchia traccia d'esame ho trovato il seguente esercizio
${ ((x^2+4)/(logx-3), if x!=e^3),(0,if x=e^3):}$
e mi chiede di determinare e classificare i punti di discontinuità, poi mi chiede se è integrabile secondo riemann in $[1,e^4].
Risulta chiaro che è discontinua in $x=e^3$ e che i $lim_(x->e^3^-)=-infty$ e $lim_(x->e^3^+)=+infty$ quindi la discontinuità è di 2° tipo?
e per quanto riguarda l'integrabilità?
in una vecchia traccia d'esame ho trovato il seguente esercizio
${ ((x^2+4)/(logx-3), if x!=e^3),(0,if x=e^3):}$
e mi chiede di determinare e classificare i punti di discontinuità, poi mi chiede se è integrabile secondo riemann in $[1,e^4].
Risulta chiaro che è discontinua in $x=e^3$ e che i $lim_(x->e^3^-)=-infty$ e $lim_(x->e^3^+)=+infty$ quindi la discontinuità è di 2° tipo?
e per quanto riguarda l'integrabilità?
Risposte
"tommyr89":
Ciao, spero qualcuno mi possa aiutare:
in una vecchia traccia d'esame ho trovato il seguente esercizio
${ ((x^2+4)/(logx-3), if x!=e^3),(0,if x=e^3):}$
e mi chiede di determinare e classificare i punti di discontinuità, poi mi chiede se è integrabile secondo riemann in $[1,e^4].
Risulta chiaro che è discontinua in $x=e^3$ e che i $lim_(x->e^3^-)=-infty$ e $lim_(x->e^3^+)=+infty$ quindi la discontinuità è di 2° tipo?
e per quanto riguarda l'integrabilità?
Io ti direi di provare a pensare a quando una funzione è Riemann integrabile. In particolare, quali sono le ipotesi che deve soddisfare $f$ ?
non è continua e non è monotona limitata, e non mi sembra che cambi nulla se la scompondo in due intervalli, quindi dobrebbe essere non integrabile?
"tommyr89":
non è continua e non è monotona limitata, e non mi sembra che cambi nulla se la scompondo in due intervalli, quindi dobrebbe essere non integrabile?
Io pensavo alla limitatezza della funzione. La classe delle funzioni Riemann integrabili viene costruita a partire dalle funzioni limitate definite su un intervallo chiuso e limitato. Non essendo le tua funzione limitata sull'intervallo $[1 ; e^4]$ mi verrebbe da dire che non è Riemann integrabile.
Può però essere integrabile in senso improprio, e per saperlo dovresti fare i conti però non mi sembra che la domanda richieda di studiare l'integrale improprio. Non vorrei sbagliarmi !
dunque la funzione non essendo limitata non è integrabile nell'intervallo (se non si considera l'integrale improprio).
mentre la discontinuità è di 2° tipo, pur essendo la funzione definita in $e^3$?
mentre la discontinuità è di 2° tipo, pur essendo la funzione definita in $e^3$?
"Relegal":
Io pensavo alla limitatezza della funzione. La classe delle funzioni Riemann integrabili viene costruita a partire dalle funzioni limitate definite su un intervallo chiuso e limitato. Non essendo le tua funzione limitata sull'intervallo $[1,e^4]$mi verrebbe da dire che non è Riemann integrabile.
Per essere limitata in $[1,e^4]$ cosa si doveva verificare?
"tommyr89":
dunque la funzione non essendo limitata non è integrabile nell'intervallo (se non si considera l'integrale improprio).
mentre la discontinuità è di 2° tipo, pur essendo la funzione definita in $e^3$?
Si, la discontinuità è di seconda specie proprio per definizione. ( almeno uno tra limite Dx e Sx è infinito o non esiste)
Per l'integrabilità io avrei ragionato così. Al limite aspettiamo anche altri pareri per esserne sicuri
"qwerty90":
[quote="Relegal"]
Io pensavo alla limitatezza della funzione. La classe delle funzioni Riemann integrabili viene costruita a partire dalle funzioni limitate definite su un intervallo chiuso e limitato. Non essendo le tua funzione limitata sull'intervallo $[1,e^4]$mi verrebbe da dire che non è Riemann integrabile.
Per essere limitata in $[1,e^4]$ cosa si doveva verificare?[/quote]
La funzione in esame non è limitata perchè svolgendo la prima richiesta si è trovato che $lim_(x->e^3)f(x)$ è infinito da destra e da sinistra.
"Relegal":
[quote="qwerty90"][quote="Relegal"]
Io pensavo alla limitatezza della funzione. La classe delle funzioni Riemann integrabili viene costruita a partire dalle funzioni limitate definite su un intervallo chiuso e limitato. Non essendo le tua funzione limitata sull'intervallo $[1,e^4]$mi verrebbe da dire che non è Riemann integrabile.
Per essere limitata in $[1,e^4]$ cosa si doveva verificare?[/quote]
La funzione in esame non è limitata perchè svolgendo la prima richiesta si è trovato che $lim_(x->e^3)f(x)$ è infinito da destra e da sinistra.[/quote]
Ah, perchè $e^3 in [1,e^4]$ ... mentre se $f$ era continua in $[1,e^4]$ era limitata no?
Vabbé ragazzi avete mostrato che quella funzione non è limitata, ma in genere si assumono come "Riemann integrabili" anche le funzioni dotate di integrale improprio convergente. Per quella funzione si può parlare di integrale improprio in $[1, e^4]$ se esistono finiti entrambi i limiti
$lim_{c\to(e^3)^-}int_1^c f(x)"d"x$ e $lim_{c \to(e^3)^+}int_c^{e^4}f(x)"d"x$.
Queste verifiche le avete fatte?
$lim_{c\to(e^3)^-}int_1^c f(x)"d"x$ e $lim_{c \to(e^3)^+}int_c^{e^4}f(x)"d"x$.
Queste verifiche le avete fatte?
"qwerty90":
[quote="Relegal"][quote="qwerty90"][quote="Relegal"]
Io pensavo alla limitatezza della funzione. La classe delle funzioni Riemann integrabili viene costruita a partire dalle funzioni limitate definite su un intervallo chiuso e limitato. Non essendo le tua funzione limitata sull'intervallo $[1,e^4]$mi verrebbe da dire che non è Riemann integrabile.
Per essere limitata in $[1,e^4]$ cosa si doveva verificare?[/quote]
La funzione in esame non è limitata perchè svolgendo la prima richiesta si è trovato che $lim_(x->e^3)f(x)$ è infinito da destra e da sinistra.[/quote]
Ah, perchè $e^3 in [1,e^4]$ ... mentre se $f$ era continua in $[1,e^4]$ era limitata no?[/quote]
Esatto, una funzione continua su un intervallo compatto è limitata.
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