Discontinuità e Differenziabilità
Buon pomeriggio,
Ho un problema sul quale sono da un giorno e mezzo e non ne sto venendo a capo, e vorrei per favore qualche aiuto.
Si tratta di considerare la seguente funzione
\[ f(x, y) = \begin{cases} x & y < x^3 \\\\ y & y \geq x^3 \end{cases} \]
in cui mi si chiede di trovare i punti in cui è continua, ammette derivate parziali ed è differenziabile.
Personalmente mi trovo molto in difficoltà con esercizi di questo tipo dove non ci sono "condizioni numeriche" (ad esempio y > 3 e così via).
Non riesco a immaginarmi molto. So che la funzione vale $x$ o $y$ (quindi sono due piani) quando la condizione è soddisfatta.
Ho capito che è come vedere i due piani tagliati dalla cubica $y = x^3$ e ho anche provato a fare un plot con Mathematica. Questo però non mi permette di capire dove la funzione sia continua.
Ho intuito che la condizione debba essere $x = y$, con i punti della forma $(x, x^3)$ ma non so se sia giusto.
Avrei bisogno di qualche aiuto denso per capire questo esercizio, grazie!
Ho un problema sul quale sono da un giorno e mezzo e non ne sto venendo a capo, e vorrei per favore qualche aiuto.
Si tratta di considerare la seguente funzione
\[ f(x, y) = \begin{cases} x & y < x^3 \\\\ y & y \geq x^3 \end{cases} \]
in cui mi si chiede di trovare i punti in cui è continua, ammette derivate parziali ed è differenziabile.
Personalmente mi trovo molto in difficoltà con esercizi di questo tipo dove non ci sono "condizioni numeriche" (ad esempio y > 3 e così via).
Non riesco a immaginarmi molto. So che la funzione vale $x$ o $y$ (quindi sono due piani) quando la condizione è soddisfatta.
Ho capito che è come vedere i due piani tagliati dalla cubica $y = x^3$ e ho anche provato a fare un plot con Mathematica. Questo però non mi permette di capire dove la funzione sia continua.
Ho intuito che la condizione debba essere $x = y$, con i punti della forma $(x, x^3)$ ma non so se sia giusto.
Avrei bisogno di qualche aiuto denso per capire questo esercizio, grazie!
Risposte
Per semplicità, chiamiamo:
$\Omega_< := \{ (x,y) in RR^2:\ y=) := \{ (x,y) in RR^2:\ y >= x^3\}$.
[asvg]xmin=-2; xmax=2; ymin=-4; ymax=4;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("x^3");
text([1,-2],"Ω_<");
text([-1,2],"Ω_≥");[/asvg]
Fissiamo un punto $(x_0,y_0)$.
Se il punto è interno alla regione $Omega_<$ abbiamo:
$f(x,y) = x$
intorno ad $(x_0,y_0)$ e la continuità, la derivabilità e la differenziabilità sono assicurate da fatti noti (e.g., le funzioni polinomiali sono $C^oo$ in ogni aperto non vuoto); analogo discorso se $(x_0,y_0)$ interno alla regione $Omega_(>=)$, perché è:
$f(x,y)=y$.
Gli unici punti in cui non sappiamo dire nulla sono quelli di frontiera per entrambe le regioni $Omega_(<,>=)$, che alla fin fine sono i punti della curva cubica di equazione $y=x^3$.
Prendiamo un punto su tale curva, diciamo $(x_0,x_0^3)$, abbiamo $(x_0,x_0^3) in Omega_(>=)$ quindi $f(x_0,x_0^3) = x_0^3$; poi valutiamo il:
$lim_((x,y) -> (x_0,x_0^3)) f(x,y)$.
Per fare ciò, conviene distinguere ciò che accade intorno a $(x_0,x_0^3)$ quando il punto variabile $(x,y)$ attraversa la regione $Omega_<$ o la regione $Omega_(>=)$: abbiamo:
$lim_((x,y) -> (x_0,x_0^3), (x,y) in Omega_(>=)) f(x,y) = lim_((x,y) -> (x_0,x_0^3), (x,y) in Omega_(>=)) y = x_0^3 = f(x_0,x_0^3)$ e siamo a posto
$lim_((x,y) -> (x_0,x_0^3), (x,y) in Omega_<) f(x,y) = lim_((x,y) -> (x_0,x_0^3), (x,y) in Omega_<) x = x_0$
e qui bisogna imporre la condizione di continuità (uguaglianza del valore del limite col valore della funzione nel punto), che dà:
$x_0 = x_0^3$;
la condizione di continuità è soddisfatta solo se $x_0$ assume alcuni particolari valori: quali? Li riesci a calcolare?
Fatto ciò, puoi preoccuparti di andare a studiare la derivabilità parziale di $f$ nei punti della curva di equazione $y=x^3$ e lo si fa come sopra; inoltre, nei punti della curva in cui $f$ è derivabile rispetto ad entrambe le variabili e pure continua puoi chiederti se essa è anche derivabile e, per verificarlo, devi capire cosa succede in un limite, ripetendo argomenti simili al precedente.
Prova.
$\Omega_< := \{ (x,y) in RR^2:\ y
[asvg]xmin=-2; xmax=2; ymin=-4; ymax=4;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("x^3");
text([1,-2],"Ω_<");
text([-1,2],"Ω_≥");[/asvg]
Fissiamo un punto $(x_0,y_0)$.
Se il punto è interno alla regione $Omega_<$ abbiamo:
$f(x,y) = x$
intorno ad $(x_0,y_0)$ e la continuità, la derivabilità e la differenziabilità sono assicurate da fatti noti (e.g., le funzioni polinomiali sono $C^oo$ in ogni aperto non vuoto); analogo discorso se $(x_0,y_0)$ interno alla regione $Omega_(>=)$, perché è:
$f(x,y)=y$.
Gli unici punti in cui non sappiamo dire nulla sono quelli di frontiera per entrambe le regioni $Omega_(<,>=)$, che alla fin fine sono i punti della curva cubica di equazione $y=x^3$.
Prendiamo un punto su tale curva, diciamo $(x_0,x_0^3)$, abbiamo $(x_0,x_0^3) in Omega_(>=)$ quindi $f(x_0,x_0^3) = x_0^3$; poi valutiamo il:
$lim_((x,y) -> (x_0,x_0^3)) f(x,y)$.
Per fare ciò, conviene distinguere ciò che accade intorno a $(x_0,x_0^3)$ quando il punto variabile $(x,y)$ attraversa la regione $Omega_<$ o la regione $Omega_(>=)$: abbiamo:
$lim_((x,y) -> (x_0,x_0^3), (x,y) in Omega_(>=)) f(x,y) = lim_((x,y) -> (x_0,x_0^3), (x,y) in Omega_(>=)) y = x_0^3 = f(x_0,x_0^3)$ e siamo a posto
$lim_((x,y) -> (x_0,x_0^3), (x,y) in Omega_<) f(x,y) = lim_((x,y) -> (x_0,x_0^3), (x,y) in Omega_<) x = x_0$
e qui bisogna imporre la condizione di continuità (uguaglianza del valore del limite col valore della funzione nel punto), che dà:
$x_0 = x_0^3$;
la condizione di continuità è soddisfatta solo se $x_0$ assume alcuni particolari valori: quali? Li riesci a calcolare?
Fatto ciò, puoi preoccuparti di andare a studiare la derivabilità parziale di $f$ nei punti della curva di equazione $y=x^3$ e lo si fa come sopra; inoltre, nei punti della curva in cui $f$ è derivabile rispetto ad entrambe le variabili e pure continua puoi chiederti se essa è anche derivabile e, per verificarlo, devi capire cosa succede in un limite, ripetendo argomenti simili al precedente.
Prova.
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