Discontinuità di prima, seconda e terza specie

[Frullallero]

Ciao a tutti. Chi mi spiega MOLTO semplicemente la differenza tra discontinuità di prima, seconda e terza specie? Come faccio a riconoscere quando una funzione presenta una di questa discontinuità?
Grazie.

[Albert Wesker 27]

Ti consiglio fortemente di aprire un libro di testo.

Detto ciò, detta in due soldoni:

Una funzione $f(x)$ presenta una discontinuità di prima specie in $x=x_0$ se esistono finiti $ lim_(x -> x_0^-)f(x)=L $ e $ lim_(x -> x_0^+) f(x)=L' $ ma $L!=L'$. (Nel grafico la funzione farà un "salto" in $x=x_0$)

Una funzione $f(x)$ presenta una discontinuità di seconda specie in $x=x_0$ se uno dei due limiti (o entrambi) laterali di $x_0$ tende a infinito o non esiste: $ lim_(x -> x_0^+) f(x)=\pm oo $ o $ lim_(x -> x_0^-)f(x)=\pm oo $ oppure uno dei due limiti non esiste. (Nel grafico, solitamente, la funzione presenta un asintoto di equazione $x=x_0$)

Una funzione $f(x)$ presenta una discontinuità di terza specie in $x=x_0$ se esistono finiti $ lim_(x -> x_0^-)f(x)=L $ e $ lim_(x -> x_0^+) f(x)=L $ (ovviamente con $L=L$) ma o $f(x)$ non è definita in $x_0$ (quindi non esiste $f(x_0)$) o esiste $f(x_0)$ ma $f(x_0)!=L$ (Nel grafico la funzione presenta una discontinuità di tipo eliminabile in $x=x_0$)

[Rigel1]

"Albert Wesker 27":
Una funzione $f(x)$ presenta una discontinuità di terza specie in $x=x_0$ se esistono finiti $ lim_(x -> x_0^-)f(x)=L $ e $ lim_(x -> x_0^+) f(x)=L $ (ovviamente con $L=L$) ma o $f(x)$ non è definita in $x_0$ (quindi non esiste $f(x_0)$) o esiste $f(x_0)$ ma $f(x_0)!=L$ (Nel grafico la funzione presenta una discontinuità di tipo eliminabile in $x=x_0$)

In questa situazione, quando $f$ non è definita in $x_0$, è più opportuno dire che $f$ è prolungabile con continuità in $x_0$ (ponendo $f(x_0) = L$), piuttosto che dire che ha una discontinuità eliminabile in $x_0$.

[Zilpha]

"Rigel":

In questa situazione, quando $f$ non è definita in $x_0$, è più opportuno dire che $f$ è prolungabile con continuità in $x_0$ (ponendo $f(x_0) = L$), piuttosto che dire che ha una discontinuità eliminabile in $x_0$.

Perchè è più opportuno? c'è qualche differenza? lo chiedo perchè alcuni professori usano spesso questo terminologia (discontinuità eliminabile).....

[Rigel1]

Per esserci una discontinuità eliminabile ci deve essere una discontinuità, e per esserci una discontinuità la funzione deve essere definita nel punto in questione.
Esiste anche una (per fortuna minoritaria) scuola di pensiero secondo la quale si può parlare di discontinuità anche dove la funzione non è definita, ma personalmente mi sembra un'inutile complicazione peraltro non compatibile con la definizione generale di continuità in spazi topologici.

[Zilpha]

@rigel: si riflettendoci concordo con te.

[Albert Wesker 27]

Interessante Rigel. Effettivamente ha poco senso parlare di discontinuità in un punto ove la funzione non esiste.

[gugo82]

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