Discontinuità della funzione derivata
Chiedo che qualcuno mi aiuti a risolvere il seguente problema che riguarda la funzione derivata.
Se una funzione f : [a,b] --> R è continua in [a,b] e derivabile in ]a,b[, l'insieme dei punti di discontinuità della funzione derivata f ' (x) è al più numerabile? O addirittura può avere la potenza del continuo?
Ringrazio anticipatamente per l'aiuto.
Angelo.
Se una funzione f : [a,b] --> R è continua in [a,b] e derivabile in ]a,b[, l'insieme dei punti di discontinuità della funzione derivata f ' (x) è al più numerabile? O addirittura può avere la potenza del continuo?
Ringrazio anticipatamente per l'aiuto.
Angelo.
Risposte
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In breve, l'insieme dei punti in cui è continua deve avere la potenza del continuo, mentre quello dei suoi punti di discontinuità può avere la potenza del continuo e può anche essere denso.
In breve, l'insieme dei punti in cui è continua deve avere la potenza del continuo, mentre quello dei suoi punti di discontinuità può avere la potenza del continuo e può anche essere denso.
Ti ringrazio per la risposta.
Mi sono interessato alla cardinalità dei punti di discontinuità della funzione derivata perchèciò mi serviva per dimostrare una proprietà apparentemente semplice che in effetti forse non lo è (almeno per me) e cioè la seguente:
Se f è una funzione reale continua in [a,b] e derivabile in ]a,b[ con derivata non costante, allora tra un punto di massimo relativo proprio per f e un punto di minimo relativo proprio per f, entrambi interni ad ]a,b[, esiste un punto di flesso proprio per f.
Se aggiungo l'ipotesi che la funzione derivata f ' sia continua in ]a,b[, riesco a dimostrare facilmente la proprietà, ma senza aggiungere l'ipotesi di continuità non ci riesco e forse la proprietà è falsa, ma ancora non sono riuscito a trovare un controesempio.
Mi sono interessato alla cardinalità dei punti di discontinuità della funzione derivata perchèciò mi serviva per dimostrare una proprietà apparentemente semplice che in effetti forse non lo è (almeno per me) e cioè la seguente:
Se f è una funzione reale continua in [a,b] e derivabile in ]a,b[ con derivata non costante, allora tra un punto di massimo relativo proprio per f e un punto di minimo relativo proprio per f, entrambi interni ad ]a,b[, esiste un punto di flesso proprio per f.
Se aggiungo l'ipotesi che la funzione derivata f ' sia continua in ]a,b[, riesco a dimostrare facilmente la proprietà, ma senza aggiungere l'ipotesi di continuità non ci riesco e forse la proprietà è falsa, ma ancora non sono riuscito a trovare un controesempio.
Ti ringrazio molto per il link che mi hai inviato. Sei davvero molto gentile.