Direzione di massima pendenza funzione di due variabili

[budino461]

ciao ragazzi ho un esercizio da proporvi in cui non riesco a capire come devo agire.
l'esercizio è il seguente:
l'insieme dei punti in cui la direzione di massima pendenza della funzione $ f(x,y)= (x^2 + y^2)e^-(x^2+y^2) $ è la bisettrice del secondo e quarto quadrante. (la risposta esatta è che dovrebbe essere l'unione tra una circonferenza e una retta)

[dissonance]

Ma qual è la domanda?

[budino461]

Dire quali sono l’insieme dei punti in cui la direzione di massima pendenza della mia funzione coincide con la bisettrice del secondo e quarto quadrante.

[Flamber]

Hai provato a calcolare $gradf(x,y)$?

[budino461]

"Flamber":Hai provato a calcolare $gradf(x,y)$?

si ho provato a calcolare il gradiente e viene :

$ grad f(x,y)= (2xe^-(x^2+y^2)(1-(x^2+y^2));2ye^-(x^2+y^2)(1-(x^2+y^2))) $
però ora cosa devo fare???

[dissonance]

cosa devo fare?

Ragionare. La direzione della bisettrice del secondo e quarto quadrante è \((-1, 1)\). Devi impostare un sistema per stabilire per quali punti \((x, y)\) si ha che \(\nabla f(x, y)\) è parallelo a \((-1,1)\).

[anto_zoolander]

@peppe

se non si fissa qualcosa dubito però che esista una "pendenza massima"; basta considerare che

$|D_(v)|=|nablaf*v|=norm(nablaf)*norm(v)$ ogni volta che $v$ è parallelo a $nablaf$

penso che l'esercizio intenda implicitamente che la direzione di massima pendenza sia il gradiente normalizzato

[dissonance]

Si, chiaramente per "direzione di massima pendenza" si intende la direzione del gradiente. Non c'è bisogno di normalizzare, la direzione di un vettore (non nullo, naturalmente) non dipende dalla sua norma.

Allora, visto che ci siamo, chiariamo le definizioni: si dice che due vettori non nulli \(v, w\in\mathbb R^2\) hanno la stessa direzione (o che sono paralleli) se esiste un numero \(\lambda\ne 0\) tale che \(v=\lambda w\). E qui abbiamo praticamente fatto metà esercizio di budino46; si tratta di stabilire per quali punti \((x, y)\) esiste \(\lambda\ne 0\) tale che
\[
\nabla f(x, y)=\lambda (-1, 1).\]