Direzione di massima pendenza
Dato un generico piano $a*x+b*y+c*z+d=0$ quale potrebbe essere una spiegazione di tipo "geometrico" al fatto che la direzione di max pendenza in un punto P del piano coincide con il vettore gradiente che ha come componenti il valore di due derivate direzionali con direzioni tra loro "perpendicolari"?
Cioè se prendo un qualsiasi riferimento ortogonale passante per il punto P e calcolo le due derivate direzionali ottengo sempre la direzione del gradiente; perchè ciò non accade con un riferimento non ortogonale passante sempre per il punto P?
grazie a tutti
Cioè se prendo un qualsiasi riferimento ortogonale passante per il punto P e calcolo le due derivate direzionali ottengo sempre la direzione del gradiente; perchè ciò non accade con un riferimento non ortogonale passante sempre per il punto P?
grazie a tutti
Risposte
Questo fatto proprio non ti entra in testa, eh? 
Eppure ne abbiamo parlato spesso. Quando prendi derivate direzionali, se le direzioni non sono ortonormali ottieni una informazione spendibile in un altro sistema di coordinate cartesiane, quello duale al sistema dato. [size=75](*)[/size] Risulta ora che le coordinate ortonormali sono tutti e soli i sistemi di coordinate cartesiane che coincidono con i propri duali, quindi in questi sistemi il problema non si pone. Ecco perché si considerano sempre e solo sistemi di coordinate ortonormali.
_________
(*) Definizione. Sia $v_1...v_n$ un insieme di $n$ vettori linearmente indipendenti in $RR^n$. Si dice che i vettori $v^1...v^n$ sono duali ai vettori dati se e solo se $v^i*v_j=delta_j^i$ per ogni $1\le i, j \le n$. Si dimostra che un tale sistema di vettori esiste sempre ed è unico.
Eppure ne abbiamo parlato spesso. Quando prendi derivate direzionali, se le direzioni non sono ortonormali ottieni una informazione spendibile in un altro sistema di coordinate cartesiane, quello duale al sistema dato. [size=75](*)[/size] Risulta ora che le coordinate ortonormali sono tutti e soli i sistemi di coordinate cartesiane che coincidono con i propri duali, quindi in questi sistemi il problema non si pone. Ecco perché si considerano sempre e solo sistemi di coordinate ortonormali._________
(*) Definizione. Sia $v_1...v_n$ un insieme di $n$ vettori linearmente indipendenti in $RR^n$. Si dice che i vettori $v^1...v^n$ sono duali ai vettori dati se e solo se $v^i*v_j=delta_j^i$ per ogni $1\le i, j \le n$. Si dimostra che un tale sistema di vettori esiste sempre ed è unico.
Hai proprio ragione, non riesco a digerirlo, è per quello che chiedevo una interpretazione di tipo geometrico.
Grazie 1000 comunque.
I migliori auguri di un buon 2011 a te ed a tutto il forum, sempre disponibili e pazienti per qualsiasi problema.
Grazie 1000 comunque.
I migliori auguri di un buon 2011 a te ed a tutto il forum, sempre disponibili e pazienti per qualsiasi problema.
Ciao, premetto che la spiegazione di "dissonance" è ottima ed è la spiegazione più corretta che si possa dare, però se cerchi un qualcosa a livello terra-terra giusto per rendere l'idea a livello geometrico, posso ripostarti qui sotto la risposta che diedi tempo fa ad un'altro utente...
"Rimaniamo per semplicità nel caso delle superfici e con un sistema di riferimento ortogonale.
La derivata direzionale di una funzione differenziabile di due variabili è data da :$(df(x_0,y_0))/(dr)=f_x(x_0,y_0)cos\theta+f_y(x_0,y_0)sen\theta$.
Ora se noi consideriamo il piano $xy$ e fissiamo sull'asse $x$ il punto $f_x(x_0,y_0)$ e sull'asse $y$ il punto $f_y(x_0,y_0)$; a questo punto disegnamo un rettangolo che avrà i vertici in $(0,0)$, $(f_x(x_0,y_0), 0)$, $(0,f_y(x_0,y_0))$ e $(f_x(x_0,y_0), f_y(x_0,y_0))$.
Facendo così abbiamo che il valore della derivata direzionale è la lunghezza del segmento che partendo da $(0,0)$ va ad unire un'altro punto appartenente ad un lato del rettangolo....quale sarà il segmento più lungo?
Il segmento più lungo sarà sempre la diagonale del rettangolo che guarda caso è quella che congiunge l'origine con il punto $(f_x(x_0,y_0), f_y(x_0,y_0))$!
Dunque il segmento più lungo (ossia la derivata direzionale di valore maggiore) è quello che ha direzione $(f_x(x_0,y_0), f_y(x_0,y_0))$, che è proprio il gradiente!"
Su questa strada ora prova a capire il perchè sia diverso nel caso di un sistema di riferimento NON ortogonale!
"Rimaniamo per semplicità nel caso delle superfici e con un sistema di riferimento ortogonale.
La derivata direzionale di una funzione differenziabile di due variabili è data da :$(df(x_0,y_0))/(dr)=f_x(x_0,y_0)cos\theta+f_y(x_0,y_0)sen\theta$.
Ora se noi consideriamo il piano $xy$ e fissiamo sull'asse $x$ il punto $f_x(x_0,y_0)$ e sull'asse $y$ il punto $f_y(x_0,y_0)$; a questo punto disegnamo un rettangolo che avrà i vertici in $(0,0)$, $(f_x(x_0,y_0), 0)$, $(0,f_y(x_0,y_0))$ e $(f_x(x_0,y_0), f_y(x_0,y_0))$.
Facendo così abbiamo che il valore della derivata direzionale è la lunghezza del segmento che partendo da $(0,0)$ va ad unire un'altro punto appartenente ad un lato del rettangolo....quale sarà il segmento più lungo?
Il segmento più lungo sarà sempre la diagonale del rettangolo che guarda caso è quella che congiunge l'origine con il punto $(f_x(x_0,y_0), f_y(x_0,y_0))$!
Dunque il segmento più lungo (ossia la derivata direzionale di valore maggiore) è quello che ha direzione $(f_x(x_0,y_0), f_y(x_0,y_0))$, che è proprio il gradiente!"
Su questa strada ora prova a capire il perchè sia diverso nel caso di un sistema di riferimento NON ortogonale!
Fino a qui tutto chiaro, ma se ruoto ad es. di 30° il sistema di riferimento, come si spiega che la direzione del gradiente è sempre la stessa ?
Beh, ma il gradiente rimane riferito alle direzioni delle derivate parziali che si adottano...
Era proprio questo il punto, io avevo capito che considerando un nuovo sistema di assi cartesiani ortogonali X', Y', ruotato attorno al centro O di un angolo arbitrario alfa, la direzione del gradiente nel nuovo sistema coincidesse sempre con quella del vettore gradiente avente per componenti le derivate parziali calcolate lungo gli assi x,y del sistema di riferimento iniziale.
grazie ancora
grazie ancora
Si, il grad nelle nuove coordinate punta ancora la direzione del grad delle vecchie...ed avrà sempre direzione uguale alla diagonale del rettangolo nelle nuove coordinate
"Alexp":Vogliamo dare una dimostrazione diretta di questo fatto? Così magari riusciamo finalmente a chiarire i dubbi di meck. Sia [tex]f=f(y_1\ldots y_n)[/tex] una funzione delle variabili [tex]y_1\ldots y_n[/tex]: introdotto il cambiamento lineare di coordinate
Si, il grad nelle nuove coordinate punta ancora la direzione del grad delle vecchie...
[tex]\mathbf{y}=A\mathbf{x},[/tex] (qui [tex]A[/tex] è una matrice [tex]n\times n[/tex])
poniamo [tex]g(x_1 \dots x_n)=f(A\mathbf{x})[/tex]. [size=75](*)[/size] Calcoliamo le derivate parziali di [tex]g[/tex]:
[tex]\frac{\partial g}{\partial x_i}=\sum_{k=1}^n \frac{\partial f}{\partial y_k}\frac{\partial y_k}{\partial x_i}=\sum_{k=1}^n \frac{\partial f}{\partial y_k}A_{k, i},[/tex]
da cui [tex]\nabla g(\mathbf{x}) = A^T\nabla f(\mathbf{y})[/tex]. Se i due sistemi di coordinate [tex]x_1 \ldots x_n, y_1 \ldots y_n[/tex] sono ortonormali, la matrice [tex]A[/tex] è ortogonale (ovvero [tex]A^{-1}=A^T[/tex]) quindi possiamo "portare dall'altra parte" quella [tex]A^T[/tex] ottenendo la formula
[tex]A\nabla g(\mathbf{x}) = \nabla f(\mathbf{y}).[/tex]
Confrontiamo con la formula di cambiamento di coordinate [tex]A \mathbf{x}=\mathbf{y}[/tex]: il gradiente si modifica secondo la stessa regola che permette di passare da un sistema di coordinate all'altro. Nota bene: è stato fondamentale assumere ortogonalità della matrice [tex]A[/tex], ovvero ortonormalità dei due sistemi di coordinate.
_______________
(*) [tex]f, g[/tex] si possono considerare come espressioni diverse di una stessa funzione, come si fa abitualmente in Fisica.
Ottima idea "dissonance", penso che ora a "meck" risulti tutto molto più chiaro!
grazie 1000, senza di voi non ci sarei mai arrivato !
"meck":Premessa: a meck, non vedere questo post come un attacco personale nei tuoi confronti. Credo che tu ti sia dato da fare per chiarirti la questione, facendo (giustamente
grazie 1000, senza di voi non ci sarei mai arrivato !
) ricorso a questo forum ed insistendo fino a che il tuo cruccio non fosse svanito. E apprezzo anche questo intervento specifico, di ringraziamento verso tutti, che penso faccia piacere in particolare a dissonance, visto l'impegno e il tempo che ha dedicato alla tua questione. Solo che voglio cogliere l'occasione per un discorso più generale.Mi colpisce questa tua frase.
Perché è il sintomo di una "pigrizia intellettuale" diffusa e che spesso "fa la differenza" tra uno studente poco bravo ed uno bravo.
Osservo che dissonance ha fatto una cosa egregia, che però non è quello che avrei fatto io (come studente). Non avrei affrontato "di botto" il problema generale. Mi sarei fatto un esempio con una funzione specifica di due variabili. Cercando, possibilmente, una funzione "furba", ovvero non troppo banale (una fuzione costante, magari?) ma neanche complicata. Avrei cercato di visualizzare graficamente cosa succede. Avrei cominciato con trasformazioni di coordinate semplici (ad esempio, solo dilatazioni/contrazioni lungo un asse coordinato, rotazioni, magari semplici, chessò, di 90 gradi).
Una volta che mi fossi fatto un'idea, avrei poi magari provato a vedere il caso generale (qualora mi fosse davvero interessato).
Ebbene, il punto mio di dissenso rispetto alla tua affermazione sta qui: non è vero che tu non ci potevi arrivare. Sono ragionevolmente convinto che tu avessi gli strumenti concettuali ed analitici per fare quanto ho tratteggiato sopra. E invece spesso, troppo spesso, questa strada non è seguita dagli studenti. Mentre basta un po' di: coraggio, perseveranza, abitudine (questa è importante, ed è uno dei sottoprodotti formativi più importanti che si ottengono applicando il metodo che ho sopra tratteggiato(*)).
[size=92](*) Si noti, l'ho tratteggiato non in generale, ma su un esempio specifico. Coerenza vuole...[/size]
Grazie per il messaggio.
In realtà non sono studente universitario ma semplice appassionato e incuriosito da questa affascinante scienza.
Molti amici si chiedono come sia possibile essere attratti da questa disciplina, io penso che rappresenti la grandiosità dell'intelleto umano.
Purtroppo solo alcuni possono percepirne fino in fondo la bellezza, per altri, come per il sottoscritto, rimane il fascino della sua profondità, della sua perfezione ed eleganza.
Per me autodidatta, gli sforzi sono ripagati dalla soddisfazione che si prova quando l'apparente caos di un problema o di un nuovo oggetto prende ordine; molte volte penso che questa perseveranza si dovuta al bisogno di convincermi che anch'io posso arrivare a capire anche se mi rendo conto che alcuni concetti sono inavvicinabili dalle persone comuni.
Probabilmente un approfondimento da autodidatta di questa materia potrebbe essere scoordinato e quindi trascurare concetti basilari senza i quali non si può procedere.
Ho acquistato parecchi libri ed ho trovato utili alcune videolezioni che si trovano in rete.
L'aiuto di forum come questo penso sia fondamentale anche se molte volte risulta difficile superare l'imbarazzo nel formulare quesiti che ritengo banali per chi come voi ha padronanza della materia.
grazie ancora
In realtà non sono studente universitario ma semplice appassionato e incuriosito da questa affascinante scienza.
Molti amici si chiedono come sia possibile essere attratti da questa disciplina, io penso che rappresenti la grandiosità dell'intelleto umano.
Purtroppo solo alcuni possono percepirne fino in fondo la bellezza, per altri, come per il sottoscritto, rimane il fascino della sua profondità, della sua perfezione ed eleganza.
Per me autodidatta, gli sforzi sono ripagati dalla soddisfazione che si prova quando l'apparente caos di un problema o di un nuovo oggetto prende ordine; molte volte penso che questa perseveranza si dovuta al bisogno di convincermi che anch'io posso arrivare a capire anche se mi rendo conto che alcuni concetti sono inavvicinabili dalle persone comuni.
Probabilmente un approfondimento da autodidatta di questa materia potrebbe essere scoordinato e quindi trascurare concetti basilari senza i quali non si può procedere.
Ho acquistato parecchi libri ed ho trovato utili alcune videolezioni che si trovano in rete.
L'aiuto di forum come questo penso sia fondamentale anche se molte volte risulta difficile superare l'imbarazzo nel formulare quesiti che ritengo banali per chi come voi ha padronanza della materia.
grazie ancora
Autodidatta? Complimenti. Davo per scontato che tu fossi uno standard stud.
"meck":Mai, mai vergognarsi di fare domande. Magari ne viene fuori che chi si pensava avesse padronanza della materia alla fin fine non ce l'ha tanto!
L'aiuto di forum come questo penso sia fondamentale anche se molte volte risulta difficile superare l'imbarazzo nel formulare quesiti che ritengo banali per chi come voi ha padronanza della materia.
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