Dire se una funzione è sommabile

[indovina]

Ho iniziato questa tipologia di esercizi.
La funzione è:

$f(x) = (x^2)/sqrt(4-x^2)$ in $[0,2)$

dal grafico deduco che è una figura che si avvicina di molto ad una parabola. In $x=2$ e $x= -2$ la funzione va a $oo$
l'intervallo che mi è stato dato, è un intervallo semiaperto superiormente.

dalla teoria dovrei vedere se $Lim_(x->c) |f(x)|*|x-c|^(alpha) = l >=0$

io credo che il $c$ in questione è proprio $2$ perchè per $x=0$ $y=0$

dunque $Lim_(x->2) | (x^2)/sqrt(4-x^2)| *|x-2|^alpha$

ora devo ragionare su $alpha$ e vedere quale vada bene per dire che è sommabile...

pongo $alpha = 1/2$
$Lim_(x->2) | (x^2)/sqrt((2+x)(2-x))| *|x-2|^(1/2)$

ora $|x-2| = | 2-x|$

potrebbe venire una cosa come

$Lim_(x->2) | (x^2)/sqrt((2+x)(2-x))| *|x-2|^(1/2)$ e vado a semplificare

$Lim_(x->2) | (x^2)/sqrt(2+x)| = 2>0$

direi che è somambile, ma non so se il mio ragionamento regge....

aspetto vostri suggerimenti.
grazie!!!

[indovina]

up

[Rigel1]

Il tuo ragionamento mi sembra corretto. Più rapidamente puoi fare così.

Hai già osservato che $f$ è continua e $\ge 0$ su $[0,2)$. Inoltre
$f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{2-x} \sqrt{2+x}} \sim \frac{2}{(2-x)^{1/2}$ per $x\to 2^-$.
Ne consegue che $f$ è sommabile in $[0,2)$.

[indovina]

"Rigel":Il tuo ragionamento mi sembra corretto. Più rapidamente puoi fare così.

Hai già osservato che $f$ è continua e $\ge 0$ su $[0,2)$. Inoltre
$f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{2-x} \sqrt{2+x}} \sim \frac{2}{(2-x)^{1/2}$ per $x\to 2^-$.
Ne consegue che $f$ è sommabile in $[0,2)$.

Ah bene!

Una volta detto che è sommabile, ovviamente dovrei calcolarmi quanto vale questo integrale, io ho cominciato a svolgerlo (il risultato non ce l'ho ma l'ho trovato su http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=%28x^%282%29%29%2FSqrt[4+-+x^%282%29]&random=false )

per sostituzione:
$sqrt(4-x^2) = t$

$4 - x^2 = t^2$

$x^2 = 4 - t^2$

$x' = (-t)/(sqrt(4-t^2))$

da cui:

$((4-t^2)*(-t))/(t*sqrt(4-t^2))$

$ - (4-t^2)/sqrt(4-t^2)$

$ - sqrt(4-x^2)$

risolvo per parti e si ha:
$ - x * sqrt(4-x^2) - \int (x^2)/sqrt(4-x^2) = \int (x^2)/sqrt(4-x^2)$

ovvero:

$ (x^2)/sqrt(4-x^2) = - (1/2) * x * sqrt(4-x^2)$

ma non viene l'altro pezzo che vedo in wolfram mathematica! O__O dov è lo sbaglio?

[Rigel1]

A quest'ora non riesco a seguire i tuoi passaggi, comunque l'integrale non mi sembra proibitivo.
Posto $y=x/2$, ti riconduci a
$4 \int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy$,
e una primitiva la puoi trovare integrando per parti oppure osservando che
$\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}} = - \sqrt{1-y^2} + \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$.

[indovina]

non voglio dire ma ho trovato tra 'gli integrali notevoli' questa formula, applicabilissima al mio caso:

$\int sqrt(a^2 - x^2) dx = (1/2) * (a^2) * arcsin (x/a) + (1/2) * x *sqrt(a^2 - x^2)$

misa che il problema è concluso