Dire se rette sono sghembe e calcolo perpendicolare

[reanto91]

Per due rette dello spazio cartesiano in un sistema di riferimento ortogonale
r: x -y+z=2, 2x+3y-2z=1
s:x=t y=-2t z=t
(a)dire se sono sghembe
(b)determinare la perpendicolare comune a r ed s

[ciampax]

(a) Il vettore direzione della seconda retta è

[math]v_2=(1,-2,1)[/math]

, mentre quello della prima retta si trova al modo seguente

[math]v_1=\det\left|\begin{array}{ccc}
e_1 & e_2 & e_3\\ 1 & -1 & 1\\ 2 & 3 & -2
\end{array}\right|=-e_1+4e_2+5e_3=(-1,4,5)[/math]

Poiché le due rette non si intersecano (basta sostituire le coordinate della seconda retta nelle due equazioni della prima e rendersi conto che si trovano valori di t differenti) ed essendo i due vettori direzione né paralleli (non sono proporzionali) né ortogonali (il loro prodotto scalare è

[math]-1-8+5=-4\not=0[/math]

) le due rette sono sghembe.

(b) Se

[math]w=(a,b,c)[/math]

è la direzione di questa perpendicolare comune, allora deve essere

[math]a-2b+c=0,\qquad -a+4b+5c=0[/math]

la cui soluzione è

[math]a=-c,\ b=c,\ c=c[/math]

Ponendo

[math]c=1[/math]

abbiamo

[math]w=(-1,1,1)[/math]

per cui una possibile equazione parametrica della retta è

[math]x=x_0-t,\ y=y_0+t,\ z=z_0+t[/math]

con

[math](x_0,y_0,z_0)[/math]

punto generico per cui passa tale retta.