Dire se esiste finito o infinito il seguente integrale:
Salve;
Molto probabilmente nel prossimo appello avrò davanti un esercizio simile più o meno nei particolari al titolo di questo topic.
sebbene ho provato più di un testo di analisi, ed anceh a cercare nel forum... non ho trovato una lucida spiegazione o almeno diciamo non l'ho capita in maniera chiara...
Desideravo da voi "esperti" una delucidazione riguardo a questo tipo di esercizio...
a) in pratica in che cosa consiste verificare l'esistenza di un integrale ?
b) finito o inifnito in che senso?
mi sareste veramente di aiuto
... vi posto un esempio di riferimento così magari posso capire :edit: $ int_0^1 (sen^3x)/(x^2*sqrtx) dx$
ps: non vi preoccupate magari nell'usare qualche terminologia "grezza" se il fine è essere chiari
Cordiali saluti.
thkx.
Molto probabilmente nel prossimo appello avrò davanti un esercizio simile più o meno nei particolari al titolo di questo topic.
sebbene ho provato più di un testo di analisi, ed anceh a cercare nel forum... non ho trovato una lucida spiegazione o almeno diciamo non l'ho capita in maniera chiara...
Desideravo da voi "esperti" una delucidazione riguardo a questo tipo di esercizio...
a) in pratica in che cosa consiste verificare l'esistenza di un integrale ?
b) finito o inifnito in che senso?
mi sareste veramente di aiuto
... vi posto un esempio di riferimento così magari posso capire :edit: $ int_0^1 (sen^3x)/(x^2*sqrtx) dx$
ps: non vi preoccupate magari nell'usare qualche terminologia "grezza" se il fine è essere chiari
Cordiali saluti.
thkx.
Risposte
.
La prima domanda significa che se sostituisci l'estremo inferiore di integrazione con una $y$ per esempio, a valori minori uguali ad $1$ e maggiori di $0$ e calcoli l'integrale, hai in definitiva una funzione al variare di $y$, questa è continua se escludi lo $0$ dove non è definita.
Se osservi la tua funzione integranda è positiva, questo significa che la tua funzione integrale è anche monotona decrescente.
L'integrale di cui sopra è in realtà il limite per $y->0$ della funzione integrale di cui sopra, poichè è monotona decrescente ti basterebbe sapere se è limitata.
Allora togli il seno a numeratore, la $x^2$ a denominatore e sostituisci il tutto con un bel $2$. E ti accorgi che, con questa nuova funzione che maggiora la prima, almeno in un intorno opportuno di $0$, la funzione integrale di cui sopra è limitata, e quindi il limite c'è ed è finito.
Più grezzo di così
non ho potuto
Se osservi la tua funzione integranda è positiva, questo significa che la tua funzione integrale è anche monotona decrescente.
L'integrale di cui sopra è in realtà il limite per $y->0$ della funzione integrale di cui sopra, poichè è monotona decrescente ti basterebbe sapere se è limitata.
Allora togli il seno a numeratore, la $x^2$ a denominatore e sostituisci il tutto con un bel $2$. E ti accorgi che, con questa nuova funzione che maggiora la prima, almeno in un intorno opportuno di $0$, la funzione integrale di cui sopra è limitata, e quindi il limite c'è ed è finito.
Più grezzo di così
non ho potuto
"regim":
La prima domanda significa che se sostituisci l'estremo inferiore di integrazione con una $y$ per esempio, a valori minori uguali ad $1$ e maggiori di $0$ e calcoli l'integrale, hai in definitiva una funzione al variare di $y$, questa è continua se escludi lo $0$ dove non è definita.
Se osservi la tua funzione integranda è positiva, questo significa che la tua funzione integrale è anche monotona decrescente.
L'integrale di cui sopra è in realtà il limite per $y->0$ della funzione integrale di cui sopra, poichè è monotona decrescente ti basterebbe sapere se è limitata.
Allora togli il seno a numeratore, la $x^2$ a denominatore e sostituisci il tutto con un bel $2$. E ti accorgi che, con questa nuova funzione che maggiora la prima, almeno in un intorno opportuno di $0$, la funzione integrale di cui sopra è limitata, e quindi il limite c'è ed è finito.
Più grezzo di così
grazie!nel caso si tratti di un integrale improrpio $ int_0^infty f(x) $
come potremmo procedere... ho visto un esempio con una strana sostituzione di $ int_0^infty f(x)$ per il calcolo del limite $lim_(t to infty) int_0^t F(x)= $ con $F(x)$ Primitiva già calcolata di $f(x)$
però non ho capito per quale conseguenza teorica accade ciò... sempre che sia giusto l'esempio che ho avuto modo di analizzare !
ps: quando dici se sostituisci.... deduco che per far questa verifica devo sostituirei ...senza se
Anche quello sopra è improprio.
Mat, qui i Matematici di professione, e non solo, inorridiscono se gli scrivi gli integrali in quel modo. Comunque il limite riguarda solo la $F(x)$ che c'entra fare l'integrale della primitiva?
Poi per quello che ho capito dalla tua ultima domanda, la risposta esauriente, non è roba da Analisi 1.
Devi maggiorare, sostituire non è il termine esatto, cioè non ho usato il termine corretto, in linea con la grezzezza della risposta asupicata.
PS
Non è una strana sostituzione, è il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Poi dove hai letto il se?
Mat, qui i Matematici di professione, e non solo, inorridiscono se gli scrivi gli integrali in quel modo. Comunque il limite riguarda solo la $F(x)$ che c'entra fare l'integrale della primitiva?
Poi per quello che ho capito dalla tua ultima domanda, la risposta esauriente, non è roba da Analisi 1.
Devi maggiorare, sostituire non è il termine esatto, cioè non ho usato il termine corretto, in linea con la grezzezza della risposta asupicata.
PS
Non è una strana sostituzione, è il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Poi dove hai letto il se?
Ritornando alla tua iniziale domanda, devi leggere la teoria su di un testo, si tratta di un argomento che per una spiegazione esauriente richiede qui un impegno nello scrivere che esula, credo, dagli scopi di questo forum. Ciao
"regim":
Anche quello sopra è improprio.
Mat, qui i Matematici di professione, e non solo, inorridiscono se gli scrivi gli integrali in quel modo. Comunque il limite riguarda solo la $F(x)$ che c'entra fare l'integrale della primitiva?
Poi per quello che ho capito dalla tua ultima domanda, la risposta esauriente, non è roba da Analisi 1.
Devi maggiorare, sostituire non è il termine esatto, cioè non ho usato il termine corretto, in linea con la grezzezza della risposta asupicata.
PS
Non è una strana sostituzione, è il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Poi dove hai letto il se?
non lo so se è roba da anailsi 1 ma ti posso dire per certo che ce l'ho nel compito di analisi 1 ...
sui testi di analisi che ho visionato non ho visto esempi guidati/spiegati di questo tipo di esercizio specifico..
per questo chiedo aiuto a voi ...
il se l'ho letto quì:
"regim":
La prima domanda significa che se sostituisci l'estremo inferiore di integrazion....ecc
ps: i matematici mi scusino per aver scritto gli integrali in quel modo
grazie...
"regim":
La prima domanda significa che se sostituisci l'estremo inferiore di integrazione con una $y$ per esempio, a valori minori uguali ad $1$ e maggiori di $0$ e calcoli l'integrale, hai in definitiva una funzione al variare di $y$, questa è continua se escludi lo $0$ dove non è definita.
Se osservi la tua funzione integranda è positiva, questo significa che la tua funzione integrale è anche monotona decrescente.
L'integrale di cui sopra è in realtà il limite per $y->0$ della funzione integrale di cui sopra, poichè è monotona decrescente ti basterebbe sapere se è limitata.
Allora togli il seno a numeratore, la $x^2$ a denominatore e sostituisci il tutto con un bel $2$. E ti accorgi che, con questa nuova funzione che maggiora la prima, almeno in un intorno opportuno di $0$, la funzione integrale di cui sopra è limitata, e quindi il limite c'è ed è finito.
Più grezzo di così
Ho capito...
ma negli esempi che ho visionato... ho notato che se "l'integrale esiste" esiste solo quando c'è il limite finito...
mentre quando il limite è $ +-infty$ l'integrale non esiste nel generico intervallo dell'integrale...
ma allora è un errore dire: "dire se esiste l'integrale e, in caso affermativo, precisare se esiste finito o infinito" ??????...questa è la frase presa dal mio ultimo compito
ho paura che stiamo parlando di due argomenti diversi...
"mat100":
"dire se esiste l'integrale e, in caso affermativo, precisare se esiste finito o infinito"
Non so se ho ben compreso la natura dei tuoi dubbi, comunque vediamo di interpretare la richiesta dell'esercizio.
Per esempio,anche se esula un po dalle tue richieste, tu sapresti verificare se una funzione è integrabile in qualche modo?
Potrebbe servirti in questa tipologia di esercizi, perciò provo a spiegartelo:
____________
Verificare l'integrabilità di una funzione non è un grosso problema, per esempio potresti sfruttare (nei casi più semplici) due teoremi molto importanti e cioè:
- Teorema di integrabilità delle funzione continue
- Teorema di integrabilità delle funzioni monotone
Essi, in sintesi ti dicono questo:
- se una funzione è continua, allora sicuramente è integrabile
- se una funzione è monotona, allora sicuramente è integrabile
ovviamente da ciò ne consegue che se una funzione è sia continua che monotona, a maggior ragione, sarà integrabile.
Faccio subito degli esempi:
[tex]$f(x)= x^2+5x+3 $[/tex]
Mi chiedo se la funzione integranda sia o meno integrabile.
La risposta è si, infatti, la funzione integranda x^2+5x+3 è continua poiché combinazione lineare di funzioni continue, ma quindi , per il teorema di int. sulle funzioni continue, essa sarà integrabile, cioè esiste quell'integrale.
Oppure:
[tex]$f(x)= \frac {x+1}{x^2+2} $[/tex]
Anche questa funzione è integrabile, poichè combinazione lineare di funzioni continue, e quindi continua.
Quindi per verificare l'integrabilità, prenditi la funzione verifica se sia continua o monotona.
Per un esame di Analisi I credo che queste considerazioni, sull'integrabilità di una funzione, all'atto pratico siano sufficienti, ma non metto la mano sul fuoco.
__________________________________
Tralasciando queste considerazioni "primordiali" (ma comunque utili), veniamo alle tue richieste.
Evidentemente, quelli che stai affrontando, sono integrali impropri.
Un integrale improprio è un'integrale calcolato ad esempio su intervalli illimitati o riguardanti funzioni non limitate..
Cioè se io ti do una funzione del tipo:
[tex]$f: [a,b) \to R$[/tex]
Questa funzione non è definita in [tex]$b[/tex].
Per esempio in [tex]$b[/tex] ha un asintoto verticale.
Tuttavia, possono verificarsi due situazioni interessanti:
- la funzione si avvicina a questo asintoto talmente tanto lentamente che alla fine il contributo che da all'area è davvero trascurabile, quindi l'integrale è finito.
- la funzione si avvicina a questo asintoto molto velocemente e quindi il contributo che da all'area è notevole, pertanto l'integrale è infinito.
Come lo stabiliamo, nella pratica:
Semplice basta verificare che [tex]$\exists \text{ finito } \lim_{y \to b^-} \int_{a}^{y} f(x) dx$[/tex]
Se questo limite esiste finito, puoi dire che la funzione è integrabile in senso improprio è cioè possiamo "ottenere" un valore finito da quell'integrale (in tal caso, si dice anche che l'integrale converge!), il valore dell'integrale è, ovviamente:
[tex]$ \int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{y \to b^-} \int_{a}^{y} f(x) dx[/tex]
Se quel limite è infinito, allora l'integrale si dice che diverge (cioè vale infinito).
"Mathcrazy":
[quote="mat100"] "dire se esiste l'integrale e, in caso affermativo, precisare se esiste finito o infinito"
Non so se ho ben compreso la natura dei tuoi dubbi, comunque vediamo di interpretare la richiesta dell'esercizio.
Se quel limite è infinito, allora l'integrale si dice che diverge (cioè vale infinito).[/quote]
grazie mat!
in queste ore ho rivisto meglio quei concetti primordiali ma utili per esercizi simili a questo...
ti faccio capire precisamente dove mi è sorto il dubbio:
Il mio testo di analisi afferma che se quel limite risulta "infinito" la funzione integranda non è integrabile in $[a, b) $
ma allora che significato ha chiederci se il l'integrale esiste ed è infinito ?
ti cito il testo: è il caponetto catania
_spero che ho reso chiara la natura del mio dubbio...
dove sta la verità
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
?
Si è esatto.
La questione è questa.
L'integrale definito di Riemann richiede che siano limitati sia l'intervallo di integrazione che la funzione..
Se questo non accade, teoricamente non potremmo "usare" l'integrale di Riemann.
Con gli integrali impropri però si riesce a calcolare l'integrale anche se l'intervallo di integrazione e/o della funzione non sono limitati.
Però non è detto che funzioni.
Se quel limite esce infinito significa che la funzione non è integrabile senza possibilità di scampo!! (secondo Riemann).
Se esce finito allora siamo fortunati: riusciamo a calcolare un integrale anche se ci troviamo in condizioni scomode per l'uso di Riemann.
La questione è questa.
L'integrale definito di Riemann richiede che siano limitati sia l'intervallo di integrazione che la funzione..
Se questo non accade, teoricamente non potremmo "usare" l'integrale di Riemann.
Con gli integrali impropri però si riesce a calcolare l'integrale anche se l'intervallo di integrazione e/o della funzione non sono limitati.
Però non è detto che funzioni.
Se quel limite esce infinito significa che la funzione non è integrabile senza possibilità di scampo!! (secondo Riemann).
Se esce finito allora siamo fortunati: riusciamo a calcolare un integrale anche se ci troviamo in condizioni scomode per l'uso di Riemann.
"Mathcrazy":
Si è esatto.
La questione è questa.
L'integrale definito di Riemann richiede che siano limitati sia l'intervallo di integrazione che la funzione..
Se questo non accade, teoricamente non potremmo "usare" l'integrale di Riemann.
Con gli integrali impropri però si riesce a calcolare l'integrale anche se l'intervallo di integrazione e/o della funzione non sono limitati.
Però non è detto che funzioni.
Se quel limite esce infinito significa che la funzione non è integrabile senza possibilità di scampo!! (secondo Riemann).
Se esce finito allora siamo fortunati: riusciamo a calcolare un integrale anche se ci troviamo in condizioni scomode per l'uso di Riemann.
ok...
lasciando stare la parte "pratica" da svolgere per risolvere l'esercizio...che l'ho ben capita.
non mi imbatterei nel giudicare l'operato di un docente.... però si può dire che "teoricamente" non è del tutto delineata la richiesta di quell'esercizio ?
mi pare ovvio che risulta aperta a varie considerazione la dicitura " se esiste l'integrale, specificare se è finito o infinito"
a questo punto cosa mi consigli di scrivere in tal caso nell'esercizio il limite mi risulti $infty$ ?
l'integrale esiste ed è infinito o l'integrale non esiste ?
ho letto degli appunti ma non so se sono giusti e se si possono usare per eseguire questo tipo di esercizi ,
si tratta di usare il "confronto asintotico"
provo ad esporre.
$ int_0^1 [sen^3x]/[x^4 *sqrt(x)] dx$ dire se esiste finito o infinito :
questo si può scrivere come $ [sen^3x]/[x^3*x *(x)^(1/2)]$
adesso $ lim_(x to 0) {[sen^3x]/[x^3*x *(x)^(1/2)]}/{(1/x)^a}=$ ora secondo i miei appunti dovremmo scegliere $a$ in base a cosa ci conviene di più..."per semplificare", la scelta di questo alfa è importante per definire l'integrabilità della funzione, infatti:
se $ 0
viceversa se $a>1$ ed $ EE l !=0 $ converge
e per $l = +- infty$ diverge :
ritornando all'esercizio in questione si ha :
$ lim_(x to 0) {[sen^3x]/[x^3*x *(x)^(1/2)]}/{(1/x)^a}= [sen^3x * x^a]/[x^3*x*x^(1/2)]=$
ora l'$a$ che ci consentirebbe di semplificare è $ a= 3/2 $,e quindi $ >1$ dato che al denominatore abbiamo $ x*x^(1/2)$
si ha così $ lim_(x to 0) (sen^3x)/x^3= 1$ esiste il limite finito e quindi l'integrale esiste ed è finito.
spero di non aver scritto cavolate
thankx.
ps: una cosa che non mi è chiara è : "se in entrambi i casi $a> o <1$ il limite risulta $0$ .... come consideriamo la funzione ?
si tratta di usare il "confronto asintotico"
provo ad esporre.
$ int_0^1 [sen^3x]/[x^4 *sqrt(x)] dx$ dire se esiste finito o infinito :
questo si può scrivere come $ [sen^3x]/[x^3*x *(x)^(1/2)]$
adesso $ lim_(x to 0) {[sen^3x]/[x^3*x *(x)^(1/2)]}/{(1/x)^a}=$ ora secondo i miei appunti dovremmo scegliere $a$ in base a cosa ci conviene di più..."per semplificare", la scelta di questo alfa è importante per definire l'integrabilità della funzione, infatti:
se $ 0
viceversa se $a>1$ ed $ EE l !=0 $ converge
e per $l = +- infty$ diverge :
ritornando all'esercizio in questione si ha :
$ lim_(x to 0) {[sen^3x]/[x^3*x *(x)^(1/2)]}/{(1/x)^a}= [sen^3x * x^a]/[x^3*x*x^(1/2)]=$
ora l'$a$ che ci consentirebbe di semplificare è $ a= 3/2 $,e quindi $ >1$ dato che al denominatore abbiamo $ x*x^(1/2)$
si ha così $ lim_(x to 0) (sen^3x)/x^3= 1$ esiste il limite finito e quindi l'integrale esiste ed è finito.
spero di non aver scritto cavolate thankx.ps: una cosa che non mi è chiara è : "se in entrambi i casi $a> o <1$ il limite risulta $0$ .... come consideriamo la funzione ?
cè nessuno su questo argomento capace di una spiegazione ?thkx
La tecnica che usi, cioè quella del confronto asintotico, si basa sul confronto dell'integrando con la funzione [tex]$\frac{1}{|x-x_0|}$[/tex] (essendo [tex]$x_0$[/tex] il punto intorno al quale il tuo integrando non è limitato): se l'integrando è un infinito d'ordine minore di un numero [tex]$p<1$[/tex] allora l'integrale improprio converge; altrimenti no.
Quindi tutto sta nello stabilire l'ordine d'inifnito dell'integrando intorno ai punti che "danno fastidio".
Il tuo integrando è [tex]$f(x):=\frac{\sin^3 x}{x^4 \sqrt{x}}$[/tex] e si vede che [tex]$\lim_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$[/tex]; d'altra parte, [tex]$\sin^3 x \approx x^3$[/tex] intorno a [tex]$0$[/tex], quindi "asintoticamente" intorno a [tex]$0$[/tex] risulta:
[tex]$f(x)\approx \frac{x^3}{x^4 \sqrt{x}} =\frac{1}{x^\frac{3}{2}}$[/tex];
ciò significa che [tex]$f$[/tex] va a [tex]$+\infty$[/tex] come la funzione [tex]$\frac{1}{x^\alpha}$[/tex] con [tex]$\alpha =\frac{3}{2}$[/tex], ossia che [tex]$f$[/tex] è un infinito d'ordine [tex]$\frac{3}{2}$[/tex] in [tex]$0$[/tex]. Per il criterio ricordato all'inizio, l'integrale improprio non può convergere.
Quindi tutto sta nello stabilire l'ordine d'inifnito dell'integrando intorno ai punti che "danno fastidio".
Il tuo integrando è [tex]$f(x):=\frac{\sin^3 x}{x^4 \sqrt{x}}$[/tex] e si vede che [tex]$\lim_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$[/tex]; d'altra parte, [tex]$\sin^3 x \approx x^3$[/tex] intorno a [tex]$0$[/tex], quindi "asintoticamente" intorno a [tex]$0$[/tex] risulta:
[tex]$f(x)\approx \frac{x^3}{x^4 \sqrt{x}} =\frac{1}{x^\frac{3}{2}}$[/tex];
ciò significa che [tex]$f$[/tex] va a [tex]$+\infty$[/tex] come la funzione [tex]$\frac{1}{x^\alpha}$[/tex] con [tex]$\alpha =\frac{3}{2}$[/tex], ossia che [tex]$f$[/tex] è un infinito d'ordine [tex]$\frac{3}{2}$[/tex] in [tex]$0$[/tex]. Per il criterio ricordato all'inizio, l'integrale improprio non può convergere.
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