Dire se esiste finito

[avmarshall]

salve a tutti
potreste aiutarmi con questo esercizio sugli integrali impropri?
dire se esiste finito il seguente integrale:
$ int_(0)^(+oo ) \frac{arctan^k(x)}{xsqrt(x)} $
non sto riuscendo a raccapezzarmi.
grazie!

[dissonance]

Ho corretto le formule (ti eri mangiato una parentesi). Hai provato a fare qualcosa? Scrivi qualche tua idea così gli altri utenti possono commentarla, non obbligare chi ti legge a partire da zero.

[avmarshall]

ok grazie
il problema è che non so come fare a dimostrare se sia finito o meno; ho provato a confrontarlo con $ int_(0)^(b) 1/(x^a) $
(ma non so se posso) in modo da sfruttare il fatto che l'integrale di $ 1/(x^a) $ converge per $ 0 è giusto il ragionamento?

[dissonance]

"avmarshall":ok grazie
il problema è che non so come fare a dimostrare se sia finito o meno; ho provato a confrontarlo con $ int_(0)^(b) 1/(x^a) $
(ma non so se posso) in modo da sfruttare il fatto che l'integrale di $ 1/(x^a) $ converge per $ 0 è giusto il ragionamento?

Il concetto è quello però devi stare attento perché la funzione integranda potrebbe essere infinita anche per \(x \to 0\). Quindi ti conviene spezzare l'integrale in due:

\[\int_0^1 \frac{\arctan^k x}{x \sqrt{x}}\, dx+\int_1^\infty \frac{\arctan^k x}{x \sqrt{x}}\, dx \]

e poi analizzare separatamente i due addendi usando il criterio del confronto.

[avmarshall]

ok ho capito
ma analizzando adesso le due parti ottengo:
$ int_(0)^(1) f(x) procedo facendo:
$ lim_(x -> 0) x^(n)g(x) $ dove $ -n=a $
faccio quel limite
$ lim_(x -> 0) g(x)/x^(-n) $
scelgo un n in modo che $ 0 il limite che mi viene fuori è l'integranda fratto la derivata di $ sqrt(x) $
ora devo capire a cosa tenda questo limite.è giusto il procedimento?
P.S.: $ g(x) $ è l'integrale