Dire per quali $x in RR$ converge la serie
Io devo trovare per quali valori di x la serie :
$sum_{n=1}^infty frac{2^n}{n*(x)^n} $
converge.
Io ho fatto così: ho adoperato l'assoluta convergenza dato che x può assumere anche valori negativi.
$sum_{n=1}^infty frac{2^n}{n*(|x|)^n} = lim(n->infty) (root (n)frac{2^n}{n*(|x|)^n}) = frac{2}{|x|}*lim(n->infty)frac{1}{(n)^(1/n)} $
studio a parte il limite:
$lim(n->infty) frac{1}{(n)^(1/n)} = lim(n->infty) frac{1}{e^(log(n)/n)} = 1$
quindi
devo studiare:
$frac{2}{|x|} < 1$ per il criterio della radice
$2 < |x|$
$ x< -2 , x > 2 $ no?
adesso per $x = -2$
la serie diventa :
$sum_{n=1}^infty frac{2^n}{n*|-2|^n} =sum_{n=1}^infty frac{1}{n}$ che diverge
per $x=2$ stessa cosa di $x=-2$
ma il risultato mi dice
$-2<=x<2$
Perchè?
$sum_{n=1}^infty frac{2^n}{n*(x)^n} $
converge.
Io ho fatto così: ho adoperato l'assoluta convergenza dato che x può assumere anche valori negativi.
$sum_{n=1}^infty frac{2^n}{n*(|x|)^n} = lim(n->infty) (root (n)frac{2^n}{n*(|x|)^n}) = frac{2}{|x|}*lim(n->infty)frac{1}{(n)^(1/n)} $
studio a parte il limite:
$lim(n->infty) frac{1}{(n)^(1/n)} = lim(n->infty) frac{1}{e^(log(n)/n)} = 1$
quindi
devo studiare:
$frac{2}{|x|} < 1$ per il criterio della radice
$2 < |x|$
$ x< -2 , x > 2 $ no?
adesso per $x = -2$
la serie diventa :
$sum_{n=1}^infty frac{2^n}{n*|-2|^n} =sum_{n=1}^infty frac{1}{n}$ che diverge
per $x=2$ stessa cosa di $x=-2$
ma il risultato mi dice
$-2<=x<2$
Perchè?
Risposte
Per $x=-2$ la serie converge (semplicemente ma non assolutamente) per il criterio di Leibniz.
"gac":
Per $x=-2$ la serie converge (semplicemente ma non assolutamente) per il criterio di Leibniz.
mmm perchè? io non ho $sum_{n=1}^infty frac{1}{n}$? dove è la serie a segni alterni?
e perchè a me viene $ x<-2 , x>2$ mentre al libro per valori interni?
I valori esterni sono corretti.
Per $x=-2$ il termine generale della serie è
$\frac{2^n}{n(-2)^n} = (-1)^n\cdot \frac{1}{n}$,
che è il termine generale di una serie a termini di segno alterno convergente (anche se non assolutamente).
Per $x=-2$ il termine generale della serie è
$\frac{2^n}{n(-2)^n} = (-1)^n\cdot \frac{1}{n}$,
che è il termine generale di una serie a termini di segno alterno convergente (anche se non assolutamente).
"gac":
I valori esterni sono corretti.
Per $x=-2$ il termine generale della serie è
$\frac{2^n}{n(-2)^n} = (-1)^n\cdot \frac{1}{n}$,
che è il termine generale di una serie a termini di segno alterno convergente (anche se non assolutamente).
Ok grazie. ho capito tutto...ma quindi il risultato del libro è sbagliato?
Sarà mica la prima volta che si trova un esercizio sbagliato in un libro...
"gac":
Sarà mica la prima volta che si trova un esercizio sbagliato in un libro...
Ma sarà la prima volta che io ci azzecco e il libro no
Si vis pacem para pacem. (Patrone, ma mi sa che non sono il primo )
)
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