Dire in quali punti la derivata parziale esiste
Dire in quali punti la derivata parziale rispetto a x esiste, calcolarla in tali punti:
$f(x,y) = \log(1 + x^2)\ |\sin y|$
$f_x = (2x) /(1 + x^2) |\sin y|$
oppure
$\lim_{t->0} (f(x_0t,y_0) - f(x_0,y_0))/(t)$
come posso fare?
$f(x,y) = \log(1 + x^2)\ |\sin y|$
$f_x = (2x) /(1 + x^2) |\sin y|$
oppure
$\lim_{t->0} (f(x_0t,y_0) - f(x_0,y_0))/(t)$
come posso fare?
Risposte
la derivata rispetto ad $x$ secondo me esiste negli stessi punti dove è definita la funzione, i problemi ci sarebbero per la derivata rispetto a $y$
"walter89":perchè?
lsecondo me esiste negli stessi punti dove è definita la funzione
$f_y = log (1 + x^2)\ \sgn (y)\ \cos y$
non esiste perchè ha due valori?
up
Applica la definizione di derivata parziale e calcola quello che viene fuori. Cioè quello che dicevi all'inizio. Pvviamente tieni conto di cosa possa accadere a seconda di valori diversi per $(x_0,y_0)$.
Quindi per la derivata rispetto a x ho che:
$\lim_{t->0} (\log [1 + (x_0 + t)^2]|\sin y_0| - \log(1 + x_0^2) |\sin y_0|)/ (t)$
Ed ora? Devo studiare questo limite al variare di un punto generico, cosa posso dire?
Rispetti ad y:
Arrivo a per $t->0 $
$\log(1 + x_0^2)/t\ (|\sin(y_0 + t)|- |\sin y_0|)$
e cosa posso dire affinchè esista?
Grazie mille
$\lim_{t->0} (\log [1 + (x_0 + t)^2]|\sin y_0| - \log(1 + x_0^2) |\sin y_0|)/ (t)$
Ed ora? Devo studiare questo limite al variare di un punto generico, cosa posso dire?
Rispetti ad y:
Arrivo a per $t->0 $
$\log(1 + x_0^2)/t\ (|\sin(y_0 + t)|- |\sin y_0|)$
e cosa posso dire affinchè esista?
Grazie mille
Bisogna che usi un po' di limiti notevoli. Ad esempio $\lim_{z\to 0} {\log(1+z)}/z=1$. Pertanto, visto che
$\log[1+(x_0+t)^2]=\log[1+x_0^2+2x_0 t+t^2]=\log(1+x_0^2)-\log(1+{2x_0 t+t^2}/{1+x_0^2})$
puoi chiamare $z={2x_0 t+t^2}/{1+x_0^2}$ e quindi applicare la sostituzione per confronto locale
$\log(1+x_0^2)-\log(1+{2x_0 t+t^2}/{1+x_0^2})\sim\log(1+x_0^2)-{2x_0 t+t^2}/{1+x_0^2}$
A questo punto il primo limite si semplifica di molto e risulta anche più chiaro come esso dipenda dalla scelta di $y_0$ e $x_0$.
$\log[1+(x_0+t)^2]=\log[1+x_0^2+2x_0 t+t^2]=\log(1+x_0^2)-\log(1+{2x_0 t+t^2}/{1+x_0^2})$
puoi chiamare $z={2x_0 t+t^2}/{1+x_0^2}$ e quindi applicare la sostituzione per confronto locale
$\log(1+x_0^2)-\log(1+{2x_0 t+t^2}/{1+x_0^2})\sim\log(1+x_0^2)-{2x_0 t+t^2}/{1+x_0^2}$
A questo punto il primo limite si semplifica di molto e risulta anche più chiaro come esso dipenda dalla scelta di $y_0$ e $x_0$.
Se invece mi fermassi alla cosa che ho scritto è sufficiente dire che finchè $x_0 \ne 0$ quella derivata esiste se $y_0 \ne 0 + k\pi$ ?
E come fai a dirlo?
Guarda non sono neanche sicuro di quello che ho scritto però al prof ho fatto vedere quella formula a cui sono arrivato e mi ha detto che da lì basta fare qualche considerazione sul modulo per capire
Non ho detto che è sbagliato, ti ho chiesto come fai a dirlo. Che è esattamente quello che ti ha detto il tuo professore. Idee?
Scusami ma se mi trovo le derivate parziali:
$f_x = (2x) / (1 + x^2) |\sin y|$
$f_y = \log (1 + x^2) \sin y/ |\sin y| \cos y$
Posso dire che $f_x$ esiste sempre mentre $f_y$ esiste sempre e soltanto per valori di $y \ne 0 + k \pi$ ?
La funzione è differenziabile se le derivate parziali sono continue in un punto, e lo sono tranne che per la seconda in $y = 0 + k \pi$ ?
Grazie mille
$f_x = (2x) / (1 + x^2) |\sin y|$
$f_y = \log (1 + x^2) \sin y/ |\sin y| \cos y$
Posso dire che $f_x$ esiste sempre mentre $f_y$ esiste sempre e soltanto per valori di $y \ne 0 + k \pi$ ?
La funzione è differenziabile se le derivate parziali sono continue in un punto, e lo sono tranne che per la seconda in $y = 0 + k \pi$ ?
Grazie mille
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo