Dire che un'equazione è una superficie

[Alemx]

Si provi che il sottoinsieme di $RR^3$ definito implicitamente dell'equazione

$ y + log(x+y)+sin (zx)=0 $

è una superficie.

Allora, se io faccio il gradiente precisamente cosa trovo? eventualmente delle "cuspidi" e quindi non una superficie?


$ nabla (f(x,y,z))={ ( (delf)/(delx) != 1/(x+y) + zcos(zx) ),( (delf)/(dely)!=1+1/(x+y) ),( (delf)/(delz)!=xcos(zx) ):} $


dalla priva ricavo: $ cos(zx) != 1/(zx+zy) $

dalla seconda: $ (x+y+1)/(x+y) !=0 $ cioè $x != -y $ e $ x != -y-1 $

dalla terza $x!=0$ e $cos(zx)!=0$ cioè $1/(zx+zy) !=0$ quindi ancora $ x != -y $

è corretto ciò che ho fatto fin'ora? da qui che posso dire?


Grazie mille, devo preparare un compito è ho difficoltà in qualche argomento. Grazie ancora.

[Quinzio]

Io ci ho capito poco.
Devi provare che e' una superficie e non una curva, e non un volume ?
E poi con il gradiente cosa dimostri.... ???
Hai un vincolo dato dal segno di = . Quello toglie una dimensione al tuo spazio a 3D.

Non saprei.

[Alexp1]

Prova col teorema del Dini in più variabili...se trovi che una variabile è esplicitabile in funzione delle altre due, allora è una superficie.