Dipoli e derivata della delta di Dirac
C'è qualche relazione tra un dipolo (elettrico, magnetico) e la derivata prima della $delta$ di Dirac?
Oggi ho assistito ad una lezione di fisica in cui un certo esperimento associato alla caduta di un magnetino produceva un grafico grosso modo come questo:
[asvg]ymin=-0.9; ymax=0.9; axes(); xmin=-1; xmax=1; plot("-2*x*exp(-1/(1-x^2))/(1-x^2)^2"); xmin=-6; xmax=-1; plot("0");xmin=1; xmax=6; plot("0");[/asvg]
Due picchi antisimmetrici molto marcati che, riflettevo, si possono ottenere derivando un picco singolo, come:
[asvg]ymin=-0.8; ymax=0.8; axes(); xmin=-1; xmax=1; plot("exp(-1/(1-x^2))"); xmin=-6; xmax=-1; plot("0");xmin=1; xmax=6; plot("0");[/asvg]
e quindi si tratterebbe di una approssimazione di $delta'$. C'è qualche fondamento in questo? Mi pare di ricordare di avere letto da qualche parte qualcosa al riguardo, infatti.
Oggi ho assistito ad una lezione di fisica in cui un certo esperimento associato alla caduta di un magnetino produceva un grafico grosso modo come questo:
[asvg]ymin=-0.9; ymax=0.9; axes(); xmin=-1; xmax=1; plot("-2*x*exp(-1/(1-x^2))/(1-x^2)^2"); xmin=-6; xmax=-1; plot("0");xmin=1; xmax=6; plot("0");[/asvg]
Due picchi antisimmetrici molto marcati che, riflettevo, si possono ottenere derivando un picco singolo, come:
[asvg]ymin=-0.8; ymax=0.8; axes(); xmin=-1; xmax=1; plot("exp(-1/(1-x^2))"); xmin=-6; xmax=-1; plot("0");xmin=1; xmax=6; plot("0");[/asvg]
e quindi si tratterebbe di una approssimazione di $delta'$. C'è qualche fondamento in questo? Mi pare di ricordare di avere letto da qualche parte qualcosa al riguardo, infatti.
Risposte
Avevo letto pure io un'interpretazione del genere per la derivata della [tex]$\delta$[/tex], certamente su qualche libro per ingegneri ma non ricordo quale.
Potresti provare sul Barozzi, Metodi Matematici per l'Ingegneria dell'Informazione.
Potresti provare sul Barozzi, Metodi Matematici per l'Ingegneria dell'Informazione.
(Chissà perché, sapevo che avresti risposto tu, sai? 
)
Grazie per il suggerimento, gugo. Tra l'altro di quel libro avevo già sentito parlare e se c'è in biblioteca vedrò di dare un'occhiata. Poi se trovo qualcosa faccio sapere qui.
)Grazie per il suggerimento, gugo. Tra l'altro di quel libro avevo già sentito parlare e se c'è in biblioteca vedrò di dare un'occhiata. Poi se trovo qualcosa faccio sapere qui.
http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delt ... erivatives
sembrerebbe proprio che tu ci abbia azzeccato
sembrerebbe proprio che tu ci abbia azzeccato
Ho trovato una spiegazione della faccenda (ridotta all'osso) su una risorsa online, il corso di elettromagnetismo di Sharipov:
http://arxiv.org/abs/physics/0311011
Exercise 6.1 pagina 26. Attenzione che l'autore usa il sistema CGS, per cui la legge di Coulomb nel suo caso è
$F=\frac{Q_1Q_2}{|vec{r}_1 - vec{r}_2|^2}$.
In realtà, devo dire, non è che abbia capito proprio bene bene. L'autore dice che la distribuzione di carica
$rho=vec{p} cdot nabla delta$
genera un campo di dipolo di momento $vec{p}$, ma non mi è perfettamente chiaro come fare i conti necessari a verificare questa asserzione. Purtroppo non sono abituato a maneggiare la $delta$ con la disinvoltura di fisici e ingegneri.
http://arxiv.org/abs/physics/0311011
Exercise 6.1 pagina 26. Attenzione che l'autore usa il sistema CGS, per cui la legge di Coulomb nel suo caso è
$F=\frac{Q_1Q_2}{|vec{r}_1 - vec{r}_2|^2}$.
In realtà, devo dire, non è che abbia capito proprio bene bene. L'autore dice che la distribuzione di carica
$rho=vec{p} cdot nabla delta$
genera un campo di dipolo di momento $vec{p}$, ma non mi è perfettamente chiaro come fare i conti necessari a verificare questa asserzione. Purtroppo non sono abituato a maneggiare la $delta$ con la disinvoltura di fisici e ingegneri.
Ok. Capito. Illustro qua che è interessante.
Ricordiamo che, nel Sistema Internazionale, il potenziale generato da una carica puntiforme $q$ posta nell'origine è pari a
$V=frac{1}{4 pi epsilon_0} frac{q}{r}.$
Dal principio di sovrapposizione ricaviamo allora che il potenziale generato da una distribuzione continua di cariche $rho=rho(x, y, z)$ è pari a
$frac{1}{4 pi epsilon_0}int int int frac{ rho(vec{r}') dV(vec{r}')}{|vec{r}-vec{r}'|}.$
Un dipolo è una coppia di cariche uguali in modulo e opposte in segno, poste a breve distanza l'una dall'altra (prendo a prestito il disegno da Wikipedia)
Detto $vec{p}=qvec{d}$ il momento del dipolo, il potenziale da esso generato si può approssimare a
$V(P)=\frac{1}{4 pi epsilon_0} frac{vec{p} cdot vec{r}}{r^3},$
ovvero a
$V(P)=\frac{1}{4 pi epsilon_0} vec{p} cdot nabla(frac{1}{r}).$
Questo è proprio quello che si ottiene ponendo $rho=vec{p}cdot nabla delta$ (ovvero la derivata direzionale della $delta$ lungo $vec{p}$) e calcolando
$frac{1}{4 pi epsilon_0} intintint frac{rho(vec{r}') dV(vec{r'})}{|vec{r}-vec{r}'|}.$
Una cosa interessante è che l'approssimazione fatta prima diventa esatta se si fa tendere a zero la distanza $d$ facendo contemporaneamente tendere ad infinito $q$. Questo corrisponde allo stringere la base dei due picchi facendo tendere ad infinito l'altezza:
[asvg]ymin=-0.9; ymax=0.9; axes(); xmin=-1; xmax=1; plot("-2*x*exp(-1/(1-x^2))/(1-x^2)^2"); xmin=-6; xmax=-1; plot("0");xmin=1; xmax=6; plot("0");[/asvg]
ed ecco perché viene fuori una derivata della delta di Dirac.
Ricordiamo che, nel Sistema Internazionale, il potenziale generato da una carica puntiforme $q$ posta nell'origine è pari a
$V=frac{1}{4 pi epsilon_0} frac{q}{r}.$
Dal principio di sovrapposizione ricaviamo allora che il potenziale generato da una distribuzione continua di cariche $rho=rho(x, y, z)$ è pari a
$frac{1}{4 pi epsilon_0}int int int frac{ rho(vec{r}') dV(vec{r}')}{|vec{r}-vec{r}'|}.$
Un dipolo è una coppia di cariche uguali in modulo e opposte in segno, poste a breve distanza l'una dall'altra (prendo a prestito il disegno da Wikipedia)
Detto $vec{p}=qvec{d}$ il momento del dipolo, il potenziale da esso generato si può approssimare a
$V(P)=\frac{1}{4 pi epsilon_0} frac{vec{p} cdot vec{r}}{r^3},$
ovvero a
$V(P)=\frac{1}{4 pi epsilon_0} vec{p} cdot nabla(frac{1}{r}).$
Questo è proprio quello che si ottiene ponendo $rho=vec{p}cdot nabla delta$ (ovvero la derivata direzionale della $delta$ lungo $vec{p}$) e calcolando
$frac{1}{4 pi epsilon_0} intintint frac{rho(vec{r}') dV(vec{r'})}{|vec{r}-vec{r}'|}.$
Una cosa interessante è che l'approssimazione fatta prima diventa esatta se si fa tendere a zero la distanza $d$ facendo contemporaneamente tendere ad infinito $q$. Questo corrisponde allo stringere la base dei due picchi facendo tendere ad infinito l'altezza:
[asvg]ymin=-0.9; ymax=0.9; axes(); xmin=-1; xmax=1; plot("-2*x*exp(-1/(1-x^2))/(1-x^2)^2"); xmin=-6; xmax=-1; plot("0");xmin=1; xmax=6; plot("0");[/asvg]
ed ecco perché viene fuori una derivata della delta di Dirac.
Non lo ho sottomano, ma credo proprio che un ottimo libro di approfondimento a tale riguardo sia:
J.D. Jackson "Classical Electrodynamics" 3rd Ed
con esercizi molto difficili.
J.D. Jackson "Classical Electrodynamics" 3rd Ed
con esercizi molto difficili.
A me piace moltissimo l'"interpretazione" della derivata della delta come dipolo, fa capire molto bene cosa fa quando è applicata a una funzione. Nel caso della delta, si vede come lo "spike" campioni esattamente la funzione in un punto (infatti a noi ingegneri ci piace rappresentarla con una freccina verso l'alto), nel caso della derivata fa due campioni ravvicinati e ne fa la differenza (uno spike è negativo, l'altro positivo), e quindi stringendo sempre più ecco la derivata. Mi fa piacere che la questione sia venuta da un matematico, infatti le distribuzioni hanno un profondo significato fisico, e non credo che si studierebbero così a fondo se così non fosse.
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