Dimostreare che s è il minimo dei maggioranti?
ciao a tutti! volevo sapere........dopo ke ho dimostrato che s è una maggiorante..come faccio a dimostrare che s è il sup cioè il minimo dei maggioranti? grazie
Risposte
Se s è il sup dell'insieme S formato ad es. dagli elementi della successione $a_n $ , allora $AA epsilon > 0 $ , nell'intervallo $( s-epsilon , s ) $ devono essere contenuti degli elementi $a_n $ , deve cioè aversi :
$ s-epsilon < a_n< s $ per ogni $n > n_epsilon $ .
$ s-epsilon < a_n< s $ per ogni $n > n_epsilon $ .
vabbe ma stabilisci tu quindi che la successione deve trovarsi in mezzo a quei due valori.....cioè..io so che s è un maggiorante..ma puo essere anche l'ultimo, per dirti, dei maggioranti..quello piu grande o potrebbe benissimo essere quello piu piccolo! se a>0 (nn so fare l'epsilon 
) s-a potrebbe essere come non essere un maggiorante...ke ne sai! come fai a dire ke proprio s-a è quel numero ke sta a sinistra del più piccolo dei maggioranti? nn potrebbe benissimo essere il penultimo dei maggioranti se s mettiamo ke sia l'ultimo? è questo ke nn capisco...
) s-a potrebbe essere come non essere un maggiorante...ke ne sai! come fai a dire ke proprio s-a è quel numero ke sta a sinistra del più piccolo dei maggioranti? nn potrebbe benissimo essere il penultimo dei maggioranti se s mettiamo ke sia l'ultimo? è questo ke nn capisco...
E’ utile fare un esempio .Considera la successione $ a_n = (n+1)/(n+2) $ .
Senz’altro $ 2 $ è un maggiorante ; infatti $ 2 > a_n $ , cioè $ 2 > (n+1)/(n+2) $ ; se la risolvi vedi che è verificata per $ n > -3 $ e quindi per qualunque $ n in NN $ .
Ma $2 $ è il sup dell’insieme ? Se lo fosse allora per qualunque $epsilon > 0 $ dovrebbe essere vero che dei termini $a_n $ cadono nell’intervallo $ (2-epsilon , 2 ) $ , cioè a dire che $ a_n > 2- epsilon $ .
Per quanto piccolo sia $ epsilon $ devono sempre esserci dei termini $a_n $ compresi tra $ 2-epsilon $ e $ 2 $ .
Risolvendo la disequazione $ (n+1)/(n+2) > 2- epsilon $ si arriva al risultato $n < (2epsilon-3)/(1-epsilon ) $ che per $ epsilon $ piccolo è un numero negativo; quindi la disequazione non è mai verificata e $ 2 $ non è il sup.
Facciamo ora altre considerazioni :
la successione è crescente cioè $ a_(n+1) > a_n $ ( facile da verificare ).
Vado allora a calcolare $lim_(n rarr oo ) a_n $ e vedo che vale $ 1 $ ( ok ? ) .
Ecco $1 $ è il candidato per essere sup.
Deve verificare 2 condizioni :
a)essere maggiore o uguale a qualunque elemento dell’insieme , deve cioè essere : $ 1 >= a_n $ ; si vede facilmente che $1 > a_n $ sempre .Invece non è mai $a_n = 1 $ . pertanto se $1 $ è il sup non è però il max ( che non esiste in questo caso ).
b) Per qualunque $epsilon > 0 $ si deve avere :
$1 –epsilon < a_n $ , devono cioè esserci dei termini $a_n > 1-epsilon $ e quindi compresi tra $1-epsilon $ e $1 $.
Risolvendo la disequazione si ottiene $n > (1-2epsilon)/epsilon $ .
Chiamiamo questo valore $n_epsilon = ( 1-2epsilon)/epsilon $.
Quindi se $n > n_epsilon $, allora $ a_n > 1-epsilon $.
Pertanto $1 $ è il sup.
Consideriamo ad esempio $epsilon = 1/100 $ ; allora $ n_epsilon =98 $.
Quindi se $n > 98 $ la condizione è verificata .
A dire, se considero $ n = 99 $ vorrà dire che $a_(99) $ disterà da $1 $ meno di $1/100$.
Infatti $ a_(99 ) = $circa $0.990099$ che dista da $1 $ circa $ 0.0099.. < 1/100 $.
Senz’altro $ 2 $ è un maggiorante ; infatti $ 2 > a_n $ , cioè $ 2 > (n+1)/(n+2) $ ; se la risolvi vedi che è verificata per $ n > -3 $ e quindi per qualunque $ n in NN $ .
Ma $2 $ è il sup dell’insieme ? Se lo fosse allora per qualunque $epsilon > 0 $ dovrebbe essere vero che dei termini $a_n $ cadono nell’intervallo $ (2-epsilon , 2 ) $ , cioè a dire che $ a_n > 2- epsilon $ .
Per quanto piccolo sia $ epsilon $ devono sempre esserci dei termini $a_n $ compresi tra $ 2-epsilon $ e $ 2 $ .
Risolvendo la disequazione $ (n+1)/(n+2) > 2- epsilon $ si arriva al risultato $n < (2epsilon-3)/(1-epsilon ) $ che per $ epsilon $ piccolo è un numero negativo; quindi la disequazione non è mai verificata e $ 2 $ non è il sup.
Facciamo ora altre considerazioni :
la successione è crescente cioè $ a_(n+1) > a_n $ ( facile da verificare ).
Vado allora a calcolare $lim_(n rarr oo ) a_n $ e vedo che vale $ 1 $ ( ok ? ) .
Ecco $1 $ è il candidato per essere sup.
Deve verificare 2 condizioni :
a)essere maggiore o uguale a qualunque elemento dell’insieme , deve cioè essere : $ 1 >= a_n $ ; si vede facilmente che $1 > a_n $ sempre .Invece non è mai $a_n = 1 $ . pertanto se $1 $ è il sup non è però il max ( che non esiste in questo caso ).
b) Per qualunque $epsilon > 0 $ si deve avere :
$1 –epsilon < a_n $ , devono cioè esserci dei termini $a_n > 1-epsilon $ e quindi compresi tra $1-epsilon $ e $1 $.
Risolvendo la disequazione si ottiene $n > (1-2epsilon)/epsilon $ .
Chiamiamo questo valore $n_epsilon = ( 1-2epsilon)/epsilon $.
Quindi se $n > n_epsilon $, allora $ a_n > 1-epsilon $.
Pertanto $1 $ è il sup.
Consideriamo ad esempio $epsilon = 1/100 $ ; allora $ n_epsilon =98 $.
Quindi se $n > 98 $ la condizione è verificata .
A dire, se considero $ n = 99 $ vorrà dire che $a_(99) $ disterà da $1 $ meno di $1/100$.
Infatti $ a_(99 ) = $circa $0.990099$ che dista da $1 $ circa $ 0.0099.. < 1/100 $.
BELLISSIMA E CHIARISSIMA LA SPIEGAZIONE CAMILLO! GRAZIE VERAMENTE TANTE PER LA PRECISIONE MA SOPRATTUTTO PER LA PAZIENZA A SCRIVERE TUTTO! 
Mi chiedono quindi questo esercizio:
Sia A un sottoinsieme di R non vuoto, superiormente limitato! Dimostrare che s=supA se e soltanto se valgono le due proprietà:
1) $a<=s$ $AAa in A$
2) $AAε>0$ $EEa in A: s-ε
praticamente sono le due proprietà dell'estremo superiore giusto? xke la prima mi dice ke è un maggiorante, mentre la seconda che è il più piccolo dei maggioranti!
Ps: nella tua dimostrazione è CRUCIALE scrivere quindi $n>nε$ (ε come indice) vero?
Mi chiedono quindi questo esercizio:
Sia A un sottoinsieme di R non vuoto, superiormente limitato! Dimostrare che s=supA se e soltanto se valgono le due proprietà:
1) $a<=s$ $AAa in A$
2) $AAε>0$ $EEa in A: s-ε
praticamente sono le due proprietà dell'estremo superiore giusto? xke la prima mi dice ke è un maggiorante, mentre la seconda che è il più piccolo dei maggioranti!
Ps: nella tua dimostrazione è CRUCIALE scrivere quindi $n>nε$ (ε come indice) vero?
Corretto quanto dici .
Certo è fondamentale che per $ n > n_epsilon $ si abbia che $ s-epsilon < a_n $ che è quanto hai scritto tu al punto 2) in forma ancora più compatta : per ogni $epsilon > 0 $ esiste un $a in A $ tale che $ s-epsilon < a $ .
Certo è fondamentale che per $ n > n_epsilon $ si abbia che $ s-epsilon < a_n $ che è quanto hai scritto tu al punto 2) in forma ancora più compatta : per ogni $epsilon > 0 $ esiste un $a in A $ tale che $ s-epsilon < a $ .
grazie mille camillo!!! sto studiando giusto ora ad analisi gli estremi superiori ed inferiori e questo tuo post mi è stato utilissimo, specie per l'esempio numerico. 
Esempi che servono molto, soprattutto all'inizio, a chiarire le cose ai neofiti come me (esempi che purtoppo stanno molto antipatici alla nostra esercitatrice di analisi 
peccato perchè all'inizio farebbe comodo qualcosa di "concreto"...ancora non sono abituato a ragionare in astratto, anche se finchè siamo in analisi va piuttosto bene...algebra lineare è invece follia pura, a livello di astrazione 
!!). Credo (anzi spero) comunque di riuscire a "entrare" nella materia... e naturalmente, spero che all'occorrenza il forum vorrà darmi una mano... 
Esempi che servono molto, soprattutto all'inizio, a chiarire le cose ai neofiti come me (esempi che purtoppo stanno molto antipatici alla nostra esercitatrice di analisi peccato perchè all'inizio farebbe comodo qualcosa di "concreto"...ancora non sono abituato a ragionare in astratto, anche se finchè siamo in analisi va piuttosto bene...algebra lineare è invece follia pura, a livello di astrazione !!). Credo (anzi spero) comunque di riuscire a "entrare" nella materia... e naturalmente, spero che all'occorrenza il forum vorrà darmi una mano...
"alvinlee88":
grazie mille camillo!!! sto studiando giusto ora ad analisi gli estremi superiori ed inferiori e questo tuo post mi è stato utilissimo, specie per l'esempio numerico.
dove studi?
Mi fa piacere che l'esempio numerico sia servito a far capire qual è il giro del fumo 
Naturalmente non ha la pretesa di dimostrare niente, avendo scelto un particolare valore per $ epsilon $ : ecco perchè ai matematici non piace .
La generalità del concetto sta nella definizione : per qualunque $epsilon >0 $ etc etc .
Naturalmente non ha la pretesa di dimostrare niente, avendo scelto un particolare valore per $ epsilon $ : ecco perchè ai matematici non piace .
La generalità del concetto sta nella definizione : per qualunque $epsilon >0 $ etc etc .
un'altro modo è ragionare per assurdo e vedere quali dati non danno l'assurdo e da li dare il minimo e il massimo.
però so spiegarlo solo su un esempio, essendo che non è un procedimento generale...
è molto burino come metodo però a me piace abbastanza
però so spiegarlo solo su un esempio, essendo che non è un procedimento generale...
è molto burino come metodo però a me piace abbastanza
@lantis
a pisa, primo anno
@ camillo
so bene che l' esempio non dimostra nulla, e che ai matematici non piace, ma io matematico ancora non sono e quando studio un argomento nuovo almeno all'inizio un paio di esempi mi fanno comodo. Dopo capisco molto meglio la generalizzazione.
a pisa, primo anno
@ camillo
so bene che l' esempio non dimostra nulla, e che ai matematici non piace, ma io matematico ancora non sono e quando studio un argomento nuovo almeno all'inizio un paio di esempi mi fanno comodo. Dopo capisco molto meglio la generalizzazione.
Se i matematici facessero più esempi ( anche numerici se del caso ) a sostegno delle definizioni che enunciano o dei teoremi che dimostrano, credo che gli studenti capirebbero molto di più e non considererebbero più la matematica così ostica e sgradevole .
Poi si generalizza il concetto anche ai livelli di astrazione più alti , ma dopo
Poi si generalizza il concetto anche ai livelli di astrazione più alti , ma dopo
ehi fermi tutti io la matematica non la considero affatto sgradevole!!! non avrei scelto di studiarla, se non avessi una grande passione per la materia!!! per il resto hai capito in pieno il mio discorso, camillo, il problema per i neofiti come me è proprio questo...chissà forse è un circolo vizioso: ai tempi in cui i prof erano studenti non hanno mai potuto contare su esempi chiarificatori e hanno faticato da soli per capire le astrazioni e le generalizzazioni... e ora non vogliono servire la pappa pronta a noi...mah...
Non mi riferivo certo a te ma a una percentuale non trascurabile di studenti ( forse la maggioranza ? )
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