Dimostrazioni successioni di funzioni
Salve a tutti, parliamo di successioni di funzioni. Vorrei capire e riuscire a dimostrare :
1) Se f é uniformemente continua in \(\displaystyle \Re \) allora \(\displaystyle f_n(x) = \ f (x + \frac{1}{n}) \) converge uniformemente a f.
2) Mostrare che \(\displaystyle f_n(x) = sin (\frac{1}{x+ 1/n}) \) NON converge uniformemente e \(\displaystyle f = sin(\frac{1}{x}) \) in \(\displaystyle (0,1) \).
Dalla teoria , per il 2, occorre dimostrare che \(\displaystyle sup_(x € D) |f_n(x) - f(x)| \rightarrow 0 per n \rightarrow \infty \). Quindi devo far vedere che \(\displaystyle | sin(\frac{1}{x + 1/n}) - sin( \frac{1}{x} )|\) non tende a zero per \(\displaystyle n\to + \infty \) , giusto ?
1) Se f é uniformemente continua in \(\displaystyle \Re \) allora \(\displaystyle f_n(x) = \ f (x + \frac{1}{n}) \) converge uniformemente a f.
2) Mostrare che \(\displaystyle f_n(x) = sin (\frac{1}{x+ 1/n}) \) NON converge uniformemente e \(\displaystyle f = sin(\frac{1}{x}) \) in \(\displaystyle (0,1) \).
Dalla teoria , per il 2, occorre dimostrare che \(\displaystyle sup_(x € D) |f_n(x) - f(x)| \rightarrow 0 per n \rightarrow \infty \). Quindi devo far vedere che \(\displaystyle | sin(\frac{1}{x + 1/n}) - sin( \frac{1}{x} )|\) non tende a zero per \(\displaystyle n\to + \infty \) , giusto ?
Risposte
Per 2, sì.
Se non vuoi procedere col Calcolo Differenziale, potrebbero essere utili le formule di prostaferesi.
Per 1, la cosa è banale: basta usare la definizione di uniforme continuità.
Se non vuoi procedere col Calcolo Differenziale, potrebbero essere utili le formule di prostaferesi.
Per 1, la cosa è banale: basta usare la definizione di uniforme continuità.
Non so se scrivo una cosa del tutto corretta (per il 2), ma se poni $n=1/x$, e osservi il $lim_(x->0)f(x)$, si vede che non hai la convergenza.
Come fai a porre $n=1/x$ se $n$ è naturale?
L'idea però non è male... Al massimo si può provare a porre $x=1/n\in ]0,1[$ ed a vedere cosa succede.
L'idea però non è male... Al massimo si può provare a porre $x=1/n\in ]0,1[$ ed a vedere cosa succede.
Per quanto concerne (2), credo sia sufficiente osservare che le \( f_n \) sono tutte ben definite e continue, mentre il limite puntuale presenta una discontinuità ineliminabile in \( x = 0 \). Quindi, non può esservi convergenza uniforme. Correggetemi se sbaglio.
Scusate, potreste mostrarmi il vostro svolgimento del punto 2 ? Non riesco a concludere, sono un pò confuso
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