Dimostrazioni di limiti di successioni
ciao a tutti,
vi chiedo gentilmente un aiuto sul legame tra la successione $a_(2n)$ e $a_(n^2)$, perchè altrimenti non so proprio come dimostrare se è vero o falso che:
Se $lim_(n->+infty)(a_(2n))$=l, con l $in$$RR$ allora $lim_(n->+infty)(a_(n^2))$=l
e con la stessa ipotesi allora $lim_(n->+infty)(a_(n^2))$ non necessariamente esiste, ma se esiste è pari ad l.
grazie 1000 in anticipo
vi chiedo gentilmente un aiuto sul legame tra la successione $a_(2n)$ e $a_(n^2)$, perchè altrimenti non so proprio come dimostrare se è vero o falso che:
Se $lim_(n->+infty)(a_(2n))$=l, con l $in$$RR$ allora $lim_(n->+infty)(a_(n^2))$=l
e con la stessa ipotesi allora $lim_(n->+infty)(a_(n^2))$ non necessariamente esiste, ma se esiste è pari ad l.
grazie 1000 in anticipo
Risposte
Correggo l'enunciato.
Per la dimostrazione, tieni presente che nella successione di indici \(n^2\) esistono infiniti numeri pari e che da una successione regolare si estreggono solo sottosuccessioni aventi lo stesso limite.
Per il controesempio, basta considerare una successione del tipo \(a_n:=(-1)^n\) (perchè?).
Sia \((a_n)\) una successione di numeri reali.
Se le due sottosuccessioni \((a_{2n})\) ed \((a_{n^2})\) estratte da \((a_n)\) sono regolari, allora esse convergono allo stesso limite.
Per la dimostrazione, tieni presente che nella successione di indici \(n^2\) esistono infiniti numeri pari e che da una successione regolare si estreggono solo sottosuccessioni aventi lo stesso limite.
Per il controesempio, basta considerare una successione del tipo \(a_n:=(-1)^n\) (perchè?).
@Navarone89: Lasciamo che sia margher a ragionarci su.
Per il controesempio :
Considerata la successione $(a_n) := (-1)^n$
Esaminiamo la sottosuccesione estratta da $a_n$ di indici di posto pari cioè $a_(2n)$
Come si vede facilmente essa assume costantemente in valore 1 ed è regolare
$a_2=a_4=a_6=...=a_(2n)=1$
Esaminiamo la sottosuccessione estratta da $a_n$ di indici di posto il quadrato di n, cioè $a_(n^2)$
Come si vede facilmente essa assume come valori $+-1$ e non è regolare
$a_1=a_9=a_(25)=...=a_((m+1)^2)=-1$ con $m in NN$
mentre
$a_4=a_(16)=a_(36)=...=a_(m^2)=1$ con $m in NN$
Le due sottosuccesioni estratte dalla successione $(a_n)$ non sono regolari, infatti ammetto limiti differenti l' uno dall' altro.
Considerata la successione $(a_n) := (-1)^n$
Esaminiamo la sottosuccesione estratta da $a_n$ di indici di posto pari cioè $a_(2n)$
Come si vede facilmente essa assume costantemente in valore 1 ed è regolare
$a_2=a_4=a_6=...=a_(2n)=1$
Esaminiamo la sottosuccessione estratta da $a_n$ di indici di posto il quadrato di n, cioè $a_(n^2)$
Come si vede facilmente essa assume come valori $+-1$ e non è regolare
$a_1=a_9=a_(25)=...=a_((m+1)^2)=-1$ con $m in NN$
mentre
$a_4=a_(16)=a_(36)=...=a_(m^2)=1$ con $m in NN$
Le due sottosuccesioni estratte dalla successione $(a_n)$ non sono regolari, infatti ammetto limiti differenti l' uno dall' altro.
grazie, mi era sfuggito che $a_(2n)$ e $a_(n^2)$ fossero due sottosuccessioni. Ora basta che sfrutto il teorema secondo il quale se una successione converge a l allora anche tutte le sottosuccessioni convergono a l. giusto no?
grazie ancora per la rapidità di risposta
grazie ancora per la rapidità di risposta
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