Dimostrazioni Convergenza monotona e dominata

[Cuppls1]

Salve a tutti,
ci sono dei passaggi che non ho chiari nella dimostrazione di questi teoremi. Le dimostrazioni le ho viste sul Rudin "Real complex analysis" terza edizione.
Non riporto le dimostrazioni intere ma solo i punti che non ho chiari sperando che abbiate visto la mia stessa dimostrazione, poi se necessario riporterò tutto:
Per quanto riguarda il teorema di Beppo Levi:
Per provare la disuguaglianza $ a=lim_{n \to \infty} int_X f_n>=int_X f$ sapendo che $lim_{n \to \infty} f_n =f$

si prende una funzione $0<=g<=f $ si costruisce $E_n:{x in X:cg(x)<=f_n(x)}$ per $0
\infty} int_X f_n>=c*int_X g$

il passaggio immediatamete successivo è dire che visto che $c<1$ allora $a>=int_X g$ ed è proprio questo che non mi è molto chiaro.

Pe quanto riguarda la convergenza dominata di Lebesgue , maggiorando $|f_n-f|<=2g$ con $lim_{n \to \infty} f_n =f$

sfruttando il lemma di Fatou, si ha : $int_X 2g=int_X text{liminf}_{n \to \infty} (2g-|f_n-f|) <=text{liminf}_{n \to

\infty}int_X (2g-|f_n-f|)$ spezzando il secondo integrale si ha una cancellazione quindi resta $0<=-text{liminf}_{n \to

\infty}int_X (|f_n-f|)$ in seguito viene messo il limsup al posto del liminf,ma questo si fa perchè esiste questo limite? E se così fosse chi ce lo assicura che esiste??

Grazie a tutti!

[Rigel1]

"Cuppls":
Per quanto riguarda il teorema di Beppo Levi:
Per provare la disuguaglianza $ a=lim_{n \to \infty} int_X f_n>=int_X f$ sapendo che $lim_{n \to \infty} f_n =f$

si prende una funzione $0<=g<=f $ si costruisce $E_n:{x in X:cg(x)<=f_n(x)}$ per $0
\infty} int_X f_n>=c*int_X g$

il passaggio immediatamete successivo è dire che visto che $c<1$ allora $a>=int_X g$ ed è proprio questo che non mi è molto chiaro.

Indica con \(G\geq 0\) l'integrale di \(g\).
Scritta in modo equivalente, posto \(\epsilon := 1- c\) hai dimostrato che
\[
a \geq (1-\epsilon)\cdot G = G - \epsilon\, G,\qquad \forall \epsilon\in (0,1).
\]
La tesi segue dall'arbitrarietà di \(\epsilon\).

Pe quanto riguarda la convergenza dominata di Lebesgue , maggiorando $|f_n-f|<=2g$ con $lim_{n \to \infty} f_n =f$

sfruttando il lemma di Fatou, si ha : $int_X 2g=int_X text{liminf}_{n \to \infty} (2g-|f_n-f|) <=text{liminf}_{n \to

\infty}int_X (2g-|f_n-f|)$ spezzando il secondo integrale si ha una cancellazione quindi resta $0<=-text{liminf}_{n \to

\infty}int_X (|f_n-f|)$ in seguito viene messo il limsup al posto del liminf,ma questo si fa perchè esiste questo limite? E se così fosse chi ce lo assicura che esiste??

In generale hai che
\[
\liminf_n (-g_n) = -\limsup_n g_n, \qquad
\limsup_n (-g_n) = -\liminf g_n.
\]

[Cuppls1]

Gentilissimo!
Grazie mille

[Cuppls1]

Riprendo questo messaggio perché in realtà riflettendoci mi è rimasto il dubbio sul primo quesito:
Abbiamo due numeri $G>=0,c<1$
e so per certo che $a>=c*G$ in seguito si conclude che $a>=G$ per l arbitrarietà di $c$
Ma se $c$ non è mai uguale a 1 "rimpicciolisce" sempre $G$ e come posso dire $a>=G$ ?
L unica cosa che mi viene in mente è che posso prendere $c$ molto vicino, preaticamente uguale, a 1, ma non mi convince questa versione

[Rigel1]

E' la stessa cosa che dire che, se \(0 \leq a \leq \epsilon\) per ogni \(\epsilon > 0\), allora \(a = 0\).
(Questo segue dalla proprietà archimedea dei numeri reali.)