Dimostrazione valore di una serie

[andy4649]

Sapreste dimostrare che $ sum^(infty)(k-1)/2^k = 0 $, con k=0 sotto il simbolo della sommatoria?

[anto_zoolander]

Basta considerare le somme parziali

$sum_(n=0)^(k)(k-1)/2^k=sum_(n=0)^(k)k(1/2)^k-sum_(n=0)^(k)(1/2)^k$

la seconda è una serie geometrica
La prima è una serie quasi geometrica

alla fine dovrebbe venire a meno di calcolo errati qualcosa di simile

$lim_(k->+infty)[1/(1-(1/2))[(1-(1/2)^(k+1))/(1-(1/2))+k(1/2)^(k+1)-1]-(1-(1/2)^(k+1))/(1-(1/2))]$

[andy4649]

Come hai sviluppato la prima serie, quella quasi geometrica?

[anto_zoolander]

Considera $q=1/2$ per non appesantire la scrittura

$sum_(n=0)^(k)nq^n=q+2q^2+3q^3+...+kq^k$

Scrivo il RHS in questa maniera per far notare una cosa

${(a_1=q+q^2+q^3+q^4+...+q^k),(a_2=0+q^2+q^3+q^4+...+q^k),(a_3=0+0^2+q^3+q^4+...+q^k),(...),(a_k=0+0^2+0^3+0^4+...+q^k):}$

Se li sommi a scendere ottieni

$sum_(j=1)^(k)a_j=q+2q^2+3q^3+4q^4+...+kq^k$

Dalla parentesi graffa si è definito $a_j:=sum_(n=j)^(k)q^n$
E quindi si ottiene

$sum_(n=0)^(k)nq^n=sum_(j=1)^(k)sum_(n=j)^(k)q^n=sum_(j=1)^(k)[sum_(n=0)^(k)q^n-sum_(n=0)^(j-1)q^n]$

Da qui sai andare avanti?

[gugo82]

Ma anche senza troppi contazzi con le somme... Vogliamo provare a calcolare un'espressione esplicita per la somma parziale:
\[
s_K:= \sum_{k=0}^K \frac{k-1}{2^k}
\]
per $K\in \NN$.
Osserviamo che (senza ridurre ai minimi termini):
\[
\begin{split}
K= 0\quad &\to\quad s_0=-1 = - \frac{1}{1}\\
K=1\quad &\to\quad s_1 = -1 = -\frac{2}{2}\\
K= 2\quad &\to \quad s_2=-1+\frac{1}{4} = - \frac{3}{4}\\
K=3\quad &\to \quad s_3 = -\frac{3}{4} + \frac{2}{8}= -\frac{4}{8}\\
K=4 \quad &\to \quad s_4 = -\frac{4}{8} + \frac{3}{16} = - \frac{5}{16}
\end{split}
\]
etc... Da cui inferiamo la formula generale:
\[
\tag{1}
s_K = - \frac{K+1}{2^K}\; .
\]
La validità della (1) va mostrata per induzione.
I conticini precedenti costituiscono una buona base per l'induzione.
Supposta vera la (1) per $K$, abbiamo:
\[
\begin{split}
s_{K+1} &= s_K + \frac{K}{2^{K+1}}\\
&= -\frac{K+1}{2^K} + \frac{K}{2^{K+1}}\\
&= \frac{-2(K+1)+K}{2^{K+1}}\\
&= - \frac{K+2}{2^{K+1}}\\
&= -\frac{(K+1)+1}{2^{K+1}}
\end{split}
\]
e la (1) dunque segue per induzione.

[andy4649]

Oppure senza tirare in ballo i termini delle somme, più facilmente: vogliamo calcolare $ sum^(infty)(k=0)kx^k $ per x = 1/2 quindi $ |x| < 1 $ e noi sappiamo che $ sum^(infty)(k=0)x^k = 1/(1-x) $ se $ |x| < 1 $. Quindi basta derivare una volta e poi moltiplicare per x l'uguaglianza e viene $ sum^(infty)(k=0)kx^k = x/(1-x)^2 $. Poi basta sostituire la x con 1/2 ed abbiamo il valore di quella serie "quasi geometrica", che è $ (1/2)/(1/2)^2 $. Il valore dell' altra serie per la formula generale è $ 1/(1-x) $ che per $ x= 1/2 $ è uguale a $ 1/(1/2) = (1/2)/(1/2)^2 $. Quindi il valore della serie iniziale è $ (1/2)/(1/2)^2 - (1/2)/(1/2)^2 = 0 $.

[gugo82]

@andy4649: Certo, ma così facendo si usano i cannoni (stai usando il Teorema di Derivazione Termine a Termine per le serie di funzioni uniformemente convergenti), cosa che volevo evitare.

[andy4649]

Non serve un genio per dimostrare che una somma di funzioni derivata è uguale alla somma delle derivate delle funzioni