Dimostrazione unicità limite (per successioni )
Salve ragazzi,
come da titolo sto studiando la dimostrazione dell'unicità del limite di una successione che dice:
Il libro che utilizzo è il marcellini-sbordone ma non è molto chiaro in un passaggio.Provo a scrivere
tutta la dimostrazione e indico il punto in cui mi sembra venga fatta qualcosa di "sbagliato".
Supponiamo per assurdo che esistano due limiti distinti, cioè an->a e bn->b ( n pedice,scusate ma non so come si fa)
con a diverso da b.
Poniamo \(\displaystyle £ = | a - 2| / 2 \), dove questa è una quantità positiva.
Si ha quindi
Esiste \(\displaystyle v1:|an-a|<£ \) per ogni \(\displaystyle n>v1 \)
Esiste \(\displaystyle v2:|an-b|<£ \) per ogni \(\displaystyle n>v2 \)
Ponendo v = max{ v1,v2} le relazioni scritte sopra valgono contemporaneamente.
Quindi:
\(\displaystyle |a-b| = | (a-an) + (an-b) | \) Penso che in questo passaggio abbia soltanto aggiunto 0 = +an -an
\(\displaystyle | (a-an) + (an-b) | <=|a-an| + |an-b| \) Fin qui tutto bene,applica la disuguaglianza triangolare
\(\displaystyle |a-an| + |an-b| = |an-a| + |an-b| \)
Qui non capisco il motivo dello "scambio" tra an e a, o meglio in base a quale regola matematica è possibile farlo.
Comunque la dimostrazione poi continua dicendo che la quantità è uguale a \(\displaystyle £+£ = |a-b| \)
e si arriva a un'assurdo poichè \(\displaystyle |a-b|<|a-b| \)
Il punto che ho indicato è quello che non riesco a comprendere, grazie
come da titolo sto studiando la dimostrazione dell'unicità del limite di una successione che dice:
Una successione convergente non può avere due limiti distinti
Il libro che utilizzo è il marcellini-sbordone ma non è molto chiaro in un passaggio.Provo a scrivere
tutta la dimostrazione e indico il punto in cui mi sembra venga fatta qualcosa di "sbagliato".
Supponiamo per assurdo che esistano due limiti distinti, cioè an->a e bn->b ( n pedice,scusate ma non so come si fa)
con a diverso da b.
Poniamo \(\displaystyle £ = | a - 2| / 2 \), dove questa è una quantità positiva.
Si ha quindi
Esiste \(\displaystyle v1:|an-a|<£ \) per ogni \(\displaystyle n>v1 \)
Esiste \(\displaystyle v2:|an-b|<£ \) per ogni \(\displaystyle n>v2 \)
Ponendo v = max{ v1,v2} le relazioni scritte sopra valgono contemporaneamente.
Quindi:
\(\displaystyle |a-b| = | (a-an) + (an-b) | \) Penso che in questo passaggio abbia soltanto aggiunto 0 = +an -an
\(\displaystyle | (a-an) + (an-b) | <=|a-an| + |an-b| \) Fin qui tutto bene,applica la disuguaglianza triangolare
\(\displaystyle |a-an| + |an-b| = |an-a| + |an-b| \)
Qui non capisco il motivo dello "scambio" tra an e a, o meglio in base a quale regola matematica è possibile farlo.
Comunque la dimostrazione poi continua dicendo che la quantità è uguale a \(\displaystyle £+£ = |a-b| \)
e si arriva a un'assurdo poichè \(\displaystyle |a-b|<|a-b| \)
Il punto che ho indicato è quello che non riesco a comprendere, grazie
Risposte
Ciao.
Scusa, com'è definito il modulo? Forse $|a-b|=|b-a|$?
Comunque una dimostrazione molto più compatta di questo teorema segue subito dalla proprietà di Hausdorff.
Basta notare che per Hausdorff, dati $p$ e $q$ distinti, esiste un $r>0$ tale che $B(p,r)nnB(q,r)=Ø$; se la successione converge sia a $p$ che a $q$, allora definitivamente $x_ninB(p,r)$, e analogamente $x_ninB(q,r)$, assurdo.
Scusa, com'è definito il modulo? Forse $|a-b|=|b-a|$?
Comunque una dimostrazione molto più compatta di questo teorema segue subito dalla proprietà di Hausdorff.
Basta notare che per Hausdorff, dati $p$ e $q$ distinti, esiste un $r>0$ tale che $B(p,r)nnB(q,r)=Ø$; se la successione converge sia a $p$ che a $q$, allora definitivamente $x_ninB(p,r)$, e analogamente $x_ninB(q,r)$, assurdo.
"Weierstress":
Scusa, com'è definito il modulo? Forse $|a-b|=|b-a|$?
.
Ti stai riferendo alla proprietà del valore assoluto che dice \(\displaystyle |-a| = |a| \)?
Comunque la proprietà di Hausdorff non è stata trattata a lezione e la dimostrazione che devo portare è quella
riportata sopra
Sì, vedila come vuoi: se $|a-b|=|c|$, $|b-a|=|-c|$, per definizione di modulo $|c|=|-c|$ e quindi $|a-b|=|b-a|$. In particolare $|a-an|=|an-a|$.
Comunque assolutamente studia la dimostrazione proposta dal tuo corso, penso solo che presentare delle alternative, particolarmente se più semplici, aiuti sempre (soprattutto quando i professori mostrano di essere un filo più flessibili, anche se ahimè questo succede raramente
).
Comunque assolutamente studia la dimostrazione proposta dal tuo corso, penso solo che presentare delle alternative, particolarmente se più semplici, aiuti sempre (soprattutto quando i professori mostrano di essere un filo più flessibili, anche se ahimè questo succede raramente
).
Grazie mille,sei stato gentilissimo
Non so davvero come ringraziarti,mi hai tolto un grande peso
Non so davvero come ringraziarti,mi hai tolto un grande peso
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