Dimostrazione unicità differenziale

[canesciolt0]

Il mio prof ci ha dato questa definizione di differenziale:

data $ f: Omega sube RR^n -> RR^m $ il differenziale in $ x_0 in Omega $ è dato dall'applicazione lineare $ T_(x_0):RR^n->RR^m $ tale che $ f(x_0+h)-f(x_0)-T_(x_0)(h) = o(||h||) $ con $ h in RR^n $.

Per dimostrare che il differenziale è unico ho pensato di fare così:

$ lim_(h -> 0) (f(x_0+h)-f(x_0)-T_(x_0)(h))/||h|| = $ ***
$ = lim_(t -> 0) (f(x_0+th)-f(x_0)-T_(x_0)(th))/(t||h||) = $
quindi
$ = lim_(t -> 0) (f(x_0+th)-f(x_0))/t -T_(x_0)(h) = $
$ = lim_(t -> 0) (f(x_0+th)-f(x_0))/t = T_(x_0)(h) $

quindi essendo unico il limite è unico anche il differenziale

***: è corretto fare questo passaggio?

o magari sarebbe meglio fare $ lim_(h -> 0) (f(x_0+h)-f(x_0))/||h|| -T_(x_0)(h/||h||) $ e considerare la quantità $ h/||h|| $ costante per poi portare $ T_(x_0)(h/||h||) $ a destra nell'equazione?

[dissonance]

Non puoi "considerare la quantità $h/||h||$ come costante". In primo luogo quella non è una quantità ma un vettore, ma questo è un dettaglio. La cosa più importante è che non è costante.

Il passaggio *** è sbagliato. Non puoi ridurre il limite per $h\to +\infty$ ad un limite per $t \to 0$, perché h è un vettore e t è uno scalare.