Dimostrazione, topologia, insiemi
Salve a tutti, sto cercando di risolvere quest'esercizio: Dimostrare le seguenti affermazioni
Se $C_i \sub \RR^n, i \in I$ sono insiemi chiusi, $\nnn_{i \in I} C_i $ è ancora un insieme chiuso
E la seconda (non fatemelo scrivere in formule plz) dice invece che l'unione di aperti è ancora un aperto.
Sarò sincero la prime due lezioni in cui abbiamo affrontato i vari tipi di punti, palle (o intorni circolari come li chiama il libro), insiemi chiusi, aperti non mi sono per niente piaciute.
La seconda affermazione l'avevo già chiesta alla prof e la sua risposta è stata in breve di prendere un punto $\vec x \in \uuu A_i$ dunque $\EE i \in I : \vec x \in A_i$, dove $A_i$ è uno degli insiemi dell'unione. Applico la def di insieme aperto e ottengo $\EE r >0 | B_r(x) \sube A_i \sube \uuu A_i$.
Questa dimostrazione (lo so che è banale) è riuscita a convincermi inspiegabilmente (e io sono un disastro quando si tratta di dimostrazioni in generale, soprattutto quando riguardano la topologia
)
Adesso la definizione di insieme chiuso ci dice che se $E \sube \RR^n $ è chiuso $\iff E^c = (\RR^n - E) $ è aperto. In pratica la definizione di insieme chiuso discende da quella di aperto, tuttavia non mi è mai andata a genio siccome non mi risulta utile al contrario di quella di aperto.
Non so bene come dimostrare la prima affermazione; non so nemmeno come partire sinceramente: prendo un punto appartenente al complementare dell'intersezione dei chiusi e da lì cerco di sfruttare la definizione di aperto (ho provato a pensarci ma non sono arrivato a nulla), oppure prendo un punto appartenente all'intersezione dei chiusi e cerco di dimostrare che il complementare aperto (anche lì ho fallito miseramente). In realtà non ho fallito del tutto, penso semplicemente che sia proprio l'approccio giusto (ometto la notazione di vettore per i punti):
Se $x_0 \in X := (\RR^n - \nnn C_i) \Rightarrow \EE r >0 : B_r(x_0) \sube X$. Tuttavia quest'ultima informazione non mi aiuta in nessun modo (o almeno credo).
Conclusione: non so dimostrare che $X$ è un aperto
Se $C_i \sub \RR^n, i \in I$ sono insiemi chiusi, $\nnn_{i \in I} C_i $ è ancora un insieme chiuso
E la seconda (non fatemelo scrivere in formule plz) dice invece che l'unione di aperti è ancora un aperto.
Sarò sincero la prime due lezioni in cui abbiamo affrontato i vari tipi di punti, palle (o intorni circolari come li chiama il libro), insiemi chiusi, aperti non mi sono per niente piaciute.
La seconda affermazione l'avevo già chiesta alla prof e la sua risposta è stata in breve di prendere un punto $\vec x \in \uuu A_i$ dunque $\EE i \in I : \vec x \in A_i$, dove $A_i$ è uno degli insiemi dell'unione. Applico la def di insieme aperto e ottengo $\EE r >0 | B_r(x) \sube A_i \sube \uuu A_i$.
Questa dimostrazione (lo so che è banale) è riuscita a convincermi inspiegabilmente (e io sono un disastro quando si tratta di dimostrazioni in generale, soprattutto quando riguardano la topologia
)Adesso la definizione di insieme chiuso ci dice che se $E \sube \RR^n $ è chiuso $\iff E^c = (\RR^n - E) $ è aperto. In pratica la definizione di insieme chiuso discende da quella di aperto, tuttavia non mi è mai andata a genio siccome non mi risulta utile al contrario di quella di aperto.
Non so bene come dimostrare la prima affermazione; non so nemmeno come partire sinceramente: prendo un punto appartenente al complementare dell'intersezione dei chiusi e da lì cerco di sfruttare la definizione di aperto (ho provato a pensarci ma non sono arrivato a nulla), oppure prendo un punto appartenente all'intersezione dei chiusi e cerco di dimostrare che il complementare aperto (anche lì ho fallito miseramente). In realtà non ho fallito del tutto, penso semplicemente che sia proprio l'approccio giusto (ometto la notazione di vettore per i punti):
Se $x_0 \in X := (\RR^n - \nnn C_i) \Rightarrow \EE r >0 : B_r(x_0) \sube X$. Tuttavia quest'ultima informazione non mi aiuta in nessun modo (o almeno credo).
Conclusione: non so dimostrare che $X$ è un aperto
Risposte
Ho cercato un po' in giro ma non ho trovato una dimostrazione adatta ai miei scopi (wikipedia, il forum stesso, ecc ecc)
P.S.La professoressa mi ha confermato che si possono dimostrare entrambe semplicemente usando le definizioni che ci ha fornito.
P.S.La professoressa mi ha confermato che si possono dimostrare entrambe semplicemente usando le definizioni che ci ha fornito.
Beh, è molto facile dimostrare entrambe le cose, perché sono assiomi della definizione di topologia (mediante i chiusi, o mediante gli aperti).
Il problema è che noi non l'abbiamo definita, abbiamo solo le definizioni di aperto, chiuso, chiusura e i vari tipi di punti, in particolare:
$Def: E \sube \RR^n $ è detto aperto se ogni punto di $E$ è interno ad $E$, cioè se ogni punto è centro di una palla contenuta in $E$
$Def:$ Dato $E \sube \RR^n$ è detto chiuso se il suo complementare , cioè $(\RR^n -E)$ è un aperto
In più le varie definizioni di palla, punto interno, esterno, di accumulazione, di frontiera e isolato che non riporto.
Devo usare queste qui
$Def: E \sube \RR^n $ è detto aperto se ogni punto di $E$ è interno ad $E$, cioè se ogni punto è centro di una palla contenuta in $E$
$Def:$ Dato $E \sube \RR^n$ è detto chiuso se il suo complementare , cioè $(\RR^n -E)$ è un aperto
In più le varie definizioni di palla, punto interno, esterno, di accumulazione, di frontiera e isolato che non riporto.
Devo usare queste qui
E dove ti blocchi? Prova con gli aperti.
Allora supponiamo che (ometto la notazione di vettore per i punti): $x \in C_i $, sappiamo quindi $C_i^c = \RR^n -C_i$ è sicuramente un aperto. Adesso, se $x \in C_i \Rightarrow x \in \nnn_i C_i \sube C_i$. Da questo deduco che $ (\RR^n-\nnn_i C_i) \supe (\RR^n-C_i) \Rightarrow (\RR^n-\nnn_i C_i) $ è un aperto di $\RR^n$ e quindi $\nnn_i C_i$ è chiuso per definizione.
"SteezyMenchi":
$ x \in C_i \Rightarrow x \in \nnn_i C_i $
Questo non è vero.
"megas_archon":
Beh, è molto facile dimostrare entrambe le cose, perché sono assiomi della definizione di topologia (mediante i chiusi, o mediante gli aperti).
Eheheh sei sempre un furbacchione tu
Comunque sono d'accordo sul fatto che sia facile. Chiaro, dipende dalle definizioni che si danno, se uno definisce la topologia assiomaticamente, come suggerisce megas_archon, allora è un assioma e non c'è niente da fare. Se uno definisce la topologia mediante una nozione di distanza, come immagino sia stato fatto, c'è un po' di lavoro da fare ma si tratta comunque di cose di base. @SteezyMenchi: non hai proprio nessun libro di teoria? Un libro di Analisi da sfogliare ogni tanto? Puoi consultare qualche libro online, o in biblioteca. Il Rudin "Principi di analisi matematica" o il Prodi "Analisi matematica" sono libri eccellenti.
Mi deve arrivare il libro di analisi per ora ho delle dispense ma non presentano nulla riguardo queste nozioni iniziali
"otta96":
[quote="SteezyMenchi"]$ x \in C_i \Rightarrow x \in \nnn_i C_i $
Questo non è vero.[/quote]
Niente son scemo io, ovviamente questa implicazione non è vera, devo stare più attento
Mi sono appena accorto che mi hai consigliato dei libri di analisi 1. Lì si parla anche di topologia suppongo, darò un'occhiata al mio Acerbi-Buttazzo appena torno a casa.
Ragazzi penso di aver trovato la soluzione, dopo aver fatto un semplice disegno con tre circonferenze che si intersecano 
Probabilmente è sbagliato però la scrivo lo stesso: allora in pratica sono giunto a questo:
$(\RR^n - uuu_i C_i^c) = \nnn_i C_i$, ma siccome l'unione di aperti è ancora un aperto, allora $(\RR^n - uuu_i C_i^c)$ è un chiuso, siccome è il complementare di un aperto. Q.E.D
Probabilmente è sbagliato però la scrivo lo stesso: allora in pratica sono giunto a questo:
$(\RR^n - uuu_i C_i^c) = \nnn_i C_i$, ma siccome l'unione di aperti è ancora un aperto, allora $(\RR^n - uuu_i C_i^c)$ è un chiuso, siccome è il complementare di un aperto. Q.E.D
Questo è giusto, ma quindi hai risolto anche il caso degli aperti? Dato che ti sei ricondotto a quello.
Quello l'ho risolto dopo esser stato aiutato dalla professoressa (si trova all'inizio del primo messaggio forse ti è sfuggito Otta)
P.S. Forse aiuto è un po' riduttivo, facciamo un aiuto bello grande
P.S. Forse aiuto è un po' riduttivo, facciamo un aiuto bello grande
Ah si, in effetti mi era sfuggito.
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