Dimostrazione topologia

[thedarkhero]

Sia $X$ un insieme, $epsilon sube P(X)$ non vuoto. Allora l'insieme delle intersezioni finite di elementi di $epsilon$ costituisce una base per la topologia generata da $epsilon$.

Come posso dimostrarlo? Non so come partire.

[Gi81]

"Wikipedia":Una base deve necessariamente godere delle seguenti tre proprietà:

1)Tra i suoi elementi vi è sempre l'insieme vuoto.
2)Gli elementi della base ricoprono X (cioè, la loro unione è X).
(Essendo X aperto, deve essere ottenibile mediante unione di elementi della base. A maggior ragione coincide con l'unione di tutti gli elementi della base).

3)Dati due elementi della base, la loro intersezione è ottenibile come unione di elementi della base.
(Infatti l'intersezione di due elementi della base deve essere aperta e quindi unione di elementi della base).

Quest'ultima proprietà può essere formulata in maniera equivalente:

3-a)Siano B1 e B2 elementi della base e sia I la loro intersezione. Per ogni x in I c'è un altro elemento della base B3 contenente x e contenuto in I.


Le tre condizioni caratterizzano le basi, nel senso che se X è un insieme privo di struttura topologica e B una famiglia di suoi sottoinsiemi che soddisfi le tre proprietà allora B è base di una topologia per X e questa, per quanto già detto, è l'unica topologia su X ad avere B come base.