Dimostrazione teorema weierstrass
sul libro trovo un po difficoltosa la dimostrazione del teorema di weierstrass e dando un occhiata su internet ho trovato questa...secondo voi è buona?
Per prima cosa si dimostra che una funzione continua su un intervallo [a , b] è LIMITATA, ovvero che ha maggioranti e minoranti (e perciò ha anche un estremo superiore ed un estremo inferiore),successivamente si dimostra il vero e proprio teorema di Weierstrass, procedendo come segue. Sia ad esempio M l'estremo superiore di f(x) al variare di x in [a , b] , vogliamo dimostrare che M non solo è estremo superiore ma è anche MASSIMO, cioè viene "effettivamente" raggiunto dalla funzione. Ragioniamo allora per assurdo: se fosse $\f(x) < M$ per ogni x in [a , b], si potrebbe definire la funzione $\g(x) = 1/(M - f(x))$. Tale funzione è continua nello stesso intervallo, e perciò, sempre per il teorema di limitatezza, esiste un K positivo tale che $\1/(M-f(x) )< K$ si ha $\M - f(x) > 1/K$, da cui $\f(x) < M - 1/K$. Questo contraddice la definizione di M, in quanto il sup è il minimo dei maggioranti, mentre con il ragionamento suddetto avremmo dimostrato l'esistenza di un maggiorante più piccolo.
Per prima cosa si dimostra che una funzione continua su un intervallo [a , b] è LIMITATA, ovvero che ha maggioranti e minoranti (e perciò ha anche un estremo superiore ed un estremo inferiore),successivamente si dimostra il vero e proprio teorema di Weierstrass, procedendo come segue. Sia ad esempio M l'estremo superiore di f(x) al variare di x in [a , b] , vogliamo dimostrare che M non solo è estremo superiore ma è anche MASSIMO, cioè viene "effettivamente" raggiunto dalla funzione. Ragioniamo allora per assurdo: se fosse $\f(x) < M$ per ogni x in [a , b], si potrebbe definire la funzione $\g(x) = 1/(M - f(x))$. Tale funzione è continua nello stesso intervallo, e perciò, sempre per il teorema di limitatezza, esiste un K positivo tale che $\1/(M-f(x) )< K$ si ha $\M - f(x) > 1/K$, da cui $\f(x) < M - 1/K$. Questo contraddice la definizione di M, in quanto il sup è il minimo dei maggioranti, mentre con il ragionamento suddetto avremmo dimostrato l'esistenza di un maggiorante più piccolo.
Risposte
Mi sembra corretta.
Per curiosità, com'è la dimostrazione che hai a disposizione sul libro?
Vengono usate le successioni? Oppure argomenti un po' più topologici?
P.S.:
Beh, anche le funzioni non limitate hanno estremo superiore ed inferiore...
E per dimostrare la limitatezza come fa? Sei sicura che questa parte della dimostrazione s'inquadri bene nel resto delle cose che hai studiato?
Per curiosità, com'è la dimostrazione che hai a disposizione sul libro?
Vengono usate le successioni? Oppure argomenti un po' più topologici?
P.S.:
"piccola88":
Per prima cosa si dimostra che una funzione continua su un intervallo [a , b] è LIMITATA, ovvero che ha maggioranti e minoranti (e perciò ha anche un estremo superiore ed un estremo inferiore) [...]
Beh, anche le funzioni non limitate hanno estremo superiore ed inferiore...
E per dimostrare la limitatezza come fa? Sei sicura che questa parte della dimostrazione s'inquadri bene nel resto delle cose che hai studiato?
A me l'hanno insiegnata con i compatti: $f$ continua, $D$ compatto $=> f(D)$ compatto (dimostrandolo con le successioni). Dopodichè si considera l'inf e il sup con la loro caratterizzazione e usando $f(D)$ compatto (quindi chiuso) si ha che ammette max e min.
"nato_pigro":
A me l'hanno insiegnata con i compatti: $f$ continua, $D$ compatto $=> f(D)$ compatto (dimostrandolo con le successioni). Dopodichè si considera l'inf e il sup con la loro caratterizzazione e usando $f(D)$ compatto (quindi chiuso) si ha che ammette max e min.
Dimostrazione classica che ha indubbiamente il pregio di mettere in luce il ruolo delle successioni (che sembra una cosa da nulla, ma sapessi l'uso che se ne fa in dimensione infinita ed in ipotesi molto più leggere su $f$ e $D$!).
Credo che anche il libro di piccola88 proceda così, ma non si può mai sapere...
allora sui miei appunti ho questa dimostrazione(i compatti non so manco cosa sono,non credo che ne abbiamo mai parlato):
1) $\i=$inf$\(f(x))$
$\x in[a,b]$
$\EEx_nsube[a,b]:f(x_n)->i$ (successione minimizzante)
2)$\EE{x_(kn)} sube {x_n}, EEx_1 in [a,b]:lim x_(kn)=x_1
3)$\f(x_1)=min f(x) , x in [a,b]
1)$\i=$inf$\ f(x) iff {(i<=f(x) AAx in [a,b] ),(AA epsilon>0 EEx_epsilon in[a,b]:f(x)
$\epsilon=1/n x_epsilon=x_n$
$i<=f(x_n)lim f(x_n)=i
a differenza di quello che ho trovato su internet(dove dimostrava l'esistenza del massimo,invece qua del minimo),questa mi sembra piu contorta o no?
1) $\i=$inf$\(f(x))$
$\x in[a,b]$
$\EEx_nsube[a,b]:f(x_n)->i$ (successione minimizzante)
2)$\EE{x_(kn)} sube {x_n}, EEx_1 in [a,b]:lim x_(kn)=x_1
3)$\f(x_1)=min f(x) , x in [a,b]
1)$\i=$inf$\ f(x) iff {(i<=f(x) AAx in [a,b] ),(AA epsilon>0 EEx_epsilon in[a,b]:f(x)
$\epsilon=1/n x_epsilon=x_n$
$i<=f(x_n)
a differenza di quello che ho trovato su internet(dove dimostrava l'esistenza del massimo,invece qua del minimo),questa mi sembra piu contorta o no?
In realtà mette in luce il ruolo di alcune proprietà fondamentali degli intervalli compatti, dell'estremo inferiore, delle successioni...
Insomma il ragionamento di base è:
- trovo una successione le cui immagini convergono verso l'estremo inferiore/superiore;
- dalla successione estraggo una successione convergente (posso farlo perchè l'intervallo è limitato);
- la sottosuccessione converge ad un punto dell'intervallo (perchè l'intervallo è chiuso);
- dimostro che il valore assunto dalla funzione sul limite della sottosuccessione è proprio l'estremo inferiore/superiore;
- visto che l'estremo inferiore/superiore è nell'immagine della funzione (cioè è un valore assunto dalla funzione), concludo che esiste un punto di minimo/massimo.
Questa dimostrazione ha l'indubbio pregio di essere estremamente generalizzabile e, perciò, serve come canovaccio per tirare fuori risultati molto più generali: ad esempio il classico teorema sull'esistenza delle soluzioni per i problemi di minimo nel Calcolo delle Variazioni si basa proprio su questa dimostrazione.
Insomma il ragionamento di base è:
- trovo una successione le cui immagini convergono verso l'estremo inferiore/superiore;
- dalla successione estraggo una successione convergente (posso farlo perchè l'intervallo è limitato);
- la sottosuccessione converge ad un punto dell'intervallo (perchè l'intervallo è chiuso);
- dimostro che il valore assunto dalla funzione sul limite della sottosuccessione è proprio l'estremo inferiore/superiore;
- visto che l'estremo inferiore/superiore è nell'immagine della funzione (cioè è un valore assunto dalla funzione), concludo che esiste un punto di minimo/massimo.
Questa dimostrazione ha l'indubbio pregio di essere estremamente generalizzabile e, perciò, serve come canovaccio per tirare fuori risultati molto più generali: ad esempio il classico teorema sull'esistenza delle soluzioni per i problemi di minimo nel Calcolo delle Variazioni si basa proprio su questa dimostrazione.
grazie ad entrambi,la dimostrazione che avevo sugli appunti si ferma al 2°punto spiegato da sergio.
se do la dimostrazione fin li,è incompleta?
vabbe io la studio tutta fino alla fine(spero di ricordarla).posso chiedere delucisazioni su cos'altro studiare per questi due argomenti?allora ho studiato:
per i limiti di successione:
la definizione,l'unicità del limite,teorema permanenza segno,teorema carabinieri,teorema successioni monotone,cauchy,bolzano-weierstrass
per i limiti di funzione:
definizione,teorema valori intermedi,teorema weierstrass
se do la dimostrazione fin li,è incompleta?
vabbe io la studio tutta fino alla fine(spero di ricordarla).posso chiedere delucisazioni su cos'altro studiare per questi due argomenti?allora ho studiato:
per i limiti di successione:
la definizione,l'unicità del limite,teorema permanenza segno,teorema carabinieri,teorema successioni monotone,cauchy,bolzano-weierstrass
per i limiti di funzione:
definizione,teorema valori intermedi,teorema weierstrass
grazie mille Sergio l'unica spiegazione su tutto internet che comprendo ^^
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