Dimostrazione teorema sulle successioni

[Albert Wesker 27]

Salve a tutti. Vorrei una dimostrazione di questo teorema (non la trovo da nessuna parte!).

Sia $an$ una successione tale che $ lim_(n -> oo) root(n)(an) =L $ , Supponiamo che esista $ lim_(n -> oo) (a(n+1))/(an)=L' $ . Allora $L=L'$.

Grazie mille =)

PS. scusate per le notazioni usate per le successioni ma non sono riuscito ad inserirle correttamente!

[theras]

Ciao!
Un paio di piccoli appunti devo muoverteli,prima d'iniziare:
1)Gli indici,nell'edit in uso,vanno preceduti dall'underscore
(mettendoli tra parentesi tonde se contengono più d'un carattere)..
2)Ma davvero non trovi questa dimostrazione nel tuo libro d'Analisi???!!!
3)Almeno un tentativo tuo era il caso di postarlo..
Comunque provo a dare un colpo al cerchio(il regolamento..)ed uno alla botte(la tua curiosità..),
e ti chiedo intanto,posto $b_n={ (a_1text{ se }n=1),((a_n)/(a_(n-1)) text{ se }n in NN-{1}):}$ $AAn in NN-{1}$,
cosa puoi affermare nelle tue ipotesi del $lim_(n to oo)b_n$?
E del $lim_(n to oo)(b_1cdotsb_n)^(1/n)=lim_(n to oo)e^(1/n(logb_1+cdots+logb_n))$?
Per quest'ultima risposta,nel caso,ricorda il teorema della media aritmetica dei termini d'una successione,
ed il gioco sarà fatto(almeno per il caso $b_n>0$ $AAn in NN$...):
saluti dal web.

[Sk_Anonymous]

Provo a darti un input un po' diverso da quello di theras, così ha più "materiale" su cui ragionare:

Se \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{a_{n-1}}=L \), allora, per definizione di limite \(\displaystyle \forall \epsilon > 0 \ \exists \ \bar{n} \in \mathbb{N} \) t.c. , per \(\displaystyle n>\bar{n} \),\[\displaystyle \left| \frac{a_{n}}{a_{n-1}} - L \right|< \epsilon \quad \Rightarrow \quad L-\epsilon < \frac{a_{n}}{a_{n-1}} < L + \epsilon \] ossia, siccome \(\displaystyle \bar{n} \) è fissato, \[\displaystyle a_{\bar{n}}(L - \epsilon)^{n} (L - \epsilon)^{1 - \bar{n}}... da cui...

Attenzione: si richiede però per completare la dimostrazione un'ulteriore ipotesi, ossia la positività dell'intera successione (e in effetti l'esercizio che mi era stato assegnato si presentava da sé con quest'altra ipotesi).