Dimostrazione teorema sulle derivate parziali

[Comeover]

" Se una funzione f : A $->R$ ha un massimo o un minimo relativo in un punto $x_0$,e se ammette derivata lungo la direzione v ,allora

$(delf)/(delx) (x_0)=0$"

Mi potreste dimostrare questo enunciato?

[poll89]

Mi serve una precisazione: hai scritto

"puppeteer":" Se una funzione $f : A ->R $ [...] ammette derivata lungo la direzione v

Questo significa che la funzione ammette derivata direzionale lungo qualunque direzione v? Se è così significa, in particolare, che f ammette entrambe le derivate parziali, dato che le derivate parziali sono semplicemente le derivate direzionali lungo i versori della base canonica di $RR^n$. In tal caso l'enunciato segue immediatamente da un teorema stranoto (vedi ad esempio questa dispensa a pag 2, ma lo trovi su qualunque libro di analisi 2).

[dissonance]

"poll89":Mi serve una precisazione: hai scritto

[quote="puppeteer"]" Se una funzione $f : A ->R $ [...] ammette derivata lungo la direzione v

Questo significa che la funzione ammette derivata direzionale lungo qualunque direzione v? Se è così significa, in particolare, che f ammette entrambe le derivate parziali, dato che le derivate parziali sono semplicemente le derivate direzionali lungo i versori della base canonica di $RR^n$. In tal caso l'enunciato segue immediatamente da un teorema stranoto (vedi ad esempio questa dispensa a pag 2, ma lo trovi su qualunque libro di analisi 2).[/quote]
Secondo me semplicemente è sbagliato il testo e l'OP vuole dimostrare che
\[
\frac{\partial f}{\partial v}(x_0)=0, \]
dove $\partial/{\partial v}$ indica la derivata direzionale. Questo è vero e non richiede altro che l'esistenza della derivata direzionale. Per dimostrarlo basta considerare un $\delta>0$ sufficientemente piccolo affinché l'intero segmento $\{x_0+\tau v\ :\ \tau\in (-\delta, \delta)\}$ sia contenuto in $A$ (che immagino essere aperto) e calcolare la derivata
\[
\left.\frac{d g}{d\tau}\right|_{\tau=0}, \]
dove $g(\tau)=f(x_0+\tau v)$.