Dimostrazione teorema nei reali
Sia $b in RR^+$ e $k in NN$ . allora esiste $a in RR^+$ tale che $a^k = b$
come lo dimostro? il libro mi consiglia di usare bernoulli ma non riesco a venirci fuori
come lo dimostro? il libro mi consiglia di usare bernoulli ma non riesco a venirci fuori
Risposte
Hai studiato anche la proprietà di Archimede? (immagino di sì)
sisi, la proprietà archimedea dei numeri reali l'ho studiata
$n in NN$ e $r in RR^+$ e $t in RR$ ho che $nr > t$
$n in NN$ e $r in RR^+$ e $t in RR$ ho che $nr > t$
Non è proprio immediato.
Devi cercare di usare l'assioma di separazione (per affermare l'esistenza del punto $a$). Non hai proprio idee?
Devi cercare di usare l'assioma di separazione (per affermare l'esistenza del punto $a$). Non hai proprio idee?
Hai studiato anche la proprietà di Archimede? (immagino di sì)
Avevo letto male, credevo dovessi ottenere $a^k >b$. Comunque io procederei con una dimostrazione tipo Bolzano-Weierstrass (mi pare si chiami così) per applicare l'assioma di separazione. Con Bernoulli non mi viene in mente per ora.
Bernoulli immagino si intenda:
$h>0$, $n in NN$, si ha che $(1+h)^n >= 1+nh$
Giusto?
per $n in ZZ$ e per ogni razionale $x>=-1$ la disuguaglianza di bernoulli dice che $(1+x)^n>=1+nx$
sul mio libro è riportata anche la doppia disuaguaglianza $1+nx<=(1+x)^n<=1/(1-nx)$
nel mio libro è riportata la dimostrazione ma non si capisce nulla
incomincia con dire che:
sia H il sottoinsieme di $RR$ definito da
$H={s in RR : s>0, s^k
$(a + 1/n)^k<=a^k (1- k/(na))^-1$
già qui non capisco..
sul mio libro è riportata anche la doppia disuaguaglianza $1+nx<=(1+x)^n<=1/(1-nx)$
nel mio libro è riportata la dimostrazione ma non si capisce nulla
incomincia con dire che:
sia H il sottoinsieme di $RR$ definito da
$H={s in RR : s>0, s^k
$(a + 1/n)^k<=a^k (1- k/(na))^-1$
già qui non capisco..
Ok, non sapevo della seconda parte della disuguaglianza.
L'idea del tuo libro è di fare vedere l'assurdo per cui si potrà scegliere un $n in NN$ tale che $(a+1/n)^k
Facendo più in dettaglio i passaggi iniziali:
$(a+1/n)^k =[a(1+1/(an))]^k =a^k (1+1/(an))^k <= a^k 1/(1-k/(an)) = a^k (1-k/(an))^(-1)$
A questo punto dimostrerà che scegliendo $n$ abbastanza grande si può ottenere $(a+1/n)^k$ arbitrariamente vicino ad $a^k$, al punto da poterlo rendere più vicino ad $a^k$ rispetto a $b$, così che $(a+1/n)^k
In qualche modo simile si dovrebbe fare vedere che non è possibile nemmeno che $a^k >b$.
Allora deve per forza essere $a^k =b$.
L'idea del tuo libro è di fare vedere l'assurdo per cui si potrà scegliere un $n in NN$ tale che $(a+1/n)^k
Facendo più in dettaglio i passaggi iniziali:
$(a+1/n)^k =[a(1+1/(an))]^k =a^k (1+1/(an))^k <= a^k 1/(1-k/(an)) = a^k (1-k/(an))^(-1)$
A questo punto dimostrerà che scegliendo $n$ abbastanza grande si può ottenere $(a+1/n)^k$ arbitrariamente vicino ad $a^k$, al punto da poterlo rendere più vicino ad $a^k$ rispetto a $b$, così che $(a+1/n)^k
In qualche modo simile si dovrebbe fare vedere che non è possibile nemmeno che $a^k >b$.
Allora deve per forza essere $a^k =b$.
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