Dimostrazione teorema moltiplicatori di Lagrange

[anticristo1]

gentilmente mi potreste segnalare una dimostrazione fatta bene del teorema dei moltiplicatori di Lagrange (in due dimensioni) ,
e gli enunciati dei teoremi di continuità e differenziabilità della funzione integrale?

[enr87]

per quella in due dimensioni ti basta fare una considerazione abbastanza semplice: sia g(x,y) = k il vincolo. un generico vettore perpendicolare al vincolo in (x,y) è dato dal gradiente di g in (x,y). a questo punto, se f è la funzione (differenziabile) di cui vuoi cercare l'estremo vincolato a g = k, e v un versore tangente al vincolo in (x,y), dal teorema del gradiente intuisci che se (x,y) è critico vincolato, allora deve valere $< grad f(x,y), v > = 0$, cioè la derivata di f lungo la direzione v è nulla in (x,y). questo ti dà anche un'informazione geometrica: $grad f$ e $v$ sono perpendicolari. ma sappiamo che $grad g$ è perpendicolare a $v$, allora deve essere parallelo a $grad f$

[anticristo1]

grazie enr vedo un pò che riesco a combinare la vorrei fare per bene ma ho pochissimo tempo..

ma devo considerare solo il caso grad g diverso dal vettore nullo (condizione di regolarità) e applicare il teorema del Dini? sul mio libro è così un pò disordinata poi non so la prof che vuole

p.s
perchè grad g è perpendicolare a v?

[enr87]

nella fretta mi sono scordato di aggiungere che il punto deve essere regolare, altrimenti avresti il gradiente nullo. non si applica dini, o almeno nella dimostrazione che ho io (che vale per qualsiasi dimensione) non si usa.
il grad g è ortogonale a v perchè grad g è ortogonale alla curva di livello, mentre v è tangente.
se posti la dimostrazione del libro vedo se sono capace di riordinartela