Dimostrazione teorema inverso di Bolzano
Cosa ne pensate di questa dimostrazione del teorema inverso di Bolzano?
(Una funzione monotona, il cui codominio è un intervallo, è continua.)
http://queenonfire.altervista.org/teore ... olzano.pdf
(Una funzione monotona, il cui codominio è un intervallo, è continua.)
http://queenonfire.altervista.org/teore ... olzano.pdf
Risposte
Stavo per l'appunto cercando questa dimostrazione su internet perchè devo portarlo all'esame ma sul libro non c'è, nè il professore l'ha spiegato al corso. Secondo me è esauriente!
Voi che ne pensate??
Voi che ne pensate??
Ho messo un post qui e non ho capito come mai non è apparso.
Uffa!
Era parecchio lungo!
Adesso riscrivo il tutto.
5 minuti di pazienza...
Uffa!
Era parecchio lungo!
Adesso riscrivo il tutto.
5 minuti di pazienza...
La dimostrazione che avete indicato è sbagliata.
Infatti ad un certo punto dice:
"Prendiamo un generico punto $y \in [f(x_0-),f(x_0+)]$. Avremo che:
$x
Questo è sbagliato perchè potrebbe anche essere $f(x_0-)=y$ oppure $f(x_0+)=y$ dato che $y$ sta nell'intervallo chiuso $ [f(x_0-),f(x_0+)]$
Anche dopo ci sono poi altri errori secondo me.
Io farei così:
Inizierei come inizai la vostra dimostrazione.
Sia per assurdo $f$ non continua.
Allora esiste $x_0$ punto in cui la funzione non è continua e quindi il limite destro (che chiamo $l_d$) e il limite sinistro (che chiamo $l_s$) in $x_o$ sono diversi ( e quindi dato che la funzione è monotona crescente $l_s
$l_s=\lim_{x \to x_0-}f(x)=Sup{f(x) \ : \ x
Ora per ipotesi il codominio $Y$ di $f$ è un intervallo.
Allora l'intervallo aperto $(l_s,l_d)$ è nel codominio.
Allora $AA$ $y\in (l_s,l_d)$ esiste $x$ tale che $f(x)=y$.
Ma $x$ minore o maggiore di $x_0$.
Se $x
Perciò $f$ è continua
NOTA BENE
Ci sono 2 punti da sistemare, a voler essere precisi precisi, ma lo lascio fare a voi
1. Io ho preso $x_0$ punto interno al dominio di $f$. Se però tale dominio non è aperto allora bisogna fare un ragionamento separato per i punti della frontiera del dominio
2. In realtà quando ho preso $y\in (l_s,l_d)$ , $f(x)=y$ ho detto che $x$ maggiore o minore di $x_0$.
Potrebbe anche essere uguale a $x_0$, ma in tal caso, dato che $(l_s,l_d)$ contiene infiniti punti, mi basta scegliere un altro $y$
Infatti ad un certo punto dice:
"Prendiamo un generico punto $y \in [f(x_0-),f(x_0+)]$. Avremo che:
$x
Questo è sbagliato perchè potrebbe anche essere $f(x_0-)=y$ oppure $f(x_0+)=y$ dato che $y$ sta nell'intervallo chiuso $ [f(x_0-),f(x_0+)]$
Anche dopo ci sono poi altri errori secondo me.
Io farei così:
Inizierei come inizai la vostra dimostrazione.
Sia per assurdo $f$ non continua.
Allora esiste $x_0$ punto in cui la funzione non è continua e quindi il limite destro (che chiamo $l_d$) e il limite sinistro (che chiamo $l_s$) in $x_o$ sono diversi ( e quindi dato che la funzione è monotona crescente $l_s
$l_s=\lim_{x \to x_0-}f(x)=Sup{f(x) \ : \ x
Ora per ipotesi il codominio $Y$ di $f$ è un intervallo.
Allora l'intervallo aperto $(l_s,l_d)$ è nel codominio.
Allora $AA$ $y\in (l_s,l_d)$ esiste $x$ tale che $f(x)=y$.
Ma $x$ minore o maggiore di $x_0$.
Se $x
Perciò $f$ è continua
NOTA BENE
Ci sono 2 punti da sistemare, a voler essere precisi precisi, ma lo lascio fare a voi
1. Io ho preso $x_0$ punto interno al dominio di $f$. Se però tale dominio non è aperto allora bisogna fare un ragionamento separato per i punti della frontiera del dominio
2. In realtà quando ho preso $y\in (l_s,l_d)$ , $f(x)=y$ ho detto che $x$ maggiore o minore di $x_0$.
Potrebbe anche essere uguale a $x_0$, ma in tal caso, dato che $(l_s,l_d)$ contiene infiniti punti, mi basta scegliere un altro $y$
"misanino":
$l_d=\lim_{x \to x_0+}f(x)=Sup{f(x) \ : \ x>x_0}$
Svista: $"Inf"$.
"misanino":
La dimostrazione che avete indicato è sbagliata.
Questo è sbagliato perchè potrebbe anche essere $f(x_0-)=y$ oppure $f(x_0+)=y$ dato che $y$ sta nell'intervallo chiuso $ [f(x_0-),f(x_0+)]$
Me ne sono accorto proprio un istante prima di leggere quello che hai scritto
Comunque, io ho posto y=f(x0) poichè comunque x0 appartiene al dominio, ed essendo monotona (crescente o decrescente che sia) non può trovarsi se non nell'intervallo aperto con quegli estremi. Dove dici che ci sono altri errori?
"Seneca":
[quote="misanino"]
$l_d=\lim_{x \to x_0+}f(x)=Sup{f(x) \ : \ x>x_0}$
Svista: $"Inf"$.[/quote]
Grazie Seneca
Alberto è l'inf.
"alberto1990":
Comunque, io ho posto y=f(x0) poichè comunque x0 appartiene al dominio, ed essendo monotona (crescente o decrescente che sia) non può trovarsi se non nell'intervallo aperto con quegli estremi. Dove dici che ci sono altri errori?
E' proprio qua l'errore.
Infatti $f(x_0)$ non deve per forza trovarsi nell'intervallo aperto $(l_s,l_d)$,
bensì nell'intervallo chiuso $[l_s,l_d]$.
Può infatti tranquillamente avvenire che $f(x_0)=l_s$ (è il caso di una funzione continua a sinistra) o $f(x_0)=l_d$ (è il caso di una funzione continua a destra).
Un esempio di funzione continua a destra è la funzione caratteristica dell'intervallo $[0,\infty)$.
Tale funzione vale 1 in $[0,\infty)$ e 0 altrove.
Perciò in 0 non è continua ma è continua a destra e si ha $f(0)=l_d$
"misanino":
[quote="alberto1990"]
Comunque, io ho posto y=f(x0) poichè comunque x0 appartiene al dominio, ed essendo monotona (crescente o decrescente che sia) non può trovarsi se non nell'intervallo aperto con quegli estremi. Dove dici che ci sono altri errori?
E' proprio qua l'errore.
Infatti $f(x_0)$ non deve per forza trovarsi nell'intervallo aperto $(l_s,l_d)$,
bensì nell'intervallo chiuso $[l_s,l_d]$.
Può infatti tranquillamente avvenire che $f(x_0)=l_s$ (è il caso di una funzione continua a sinistra) o $f(x_0)=l_d$ (è il caso di una funzione continua a destra).
Un esempio di funzione continua a destra è la funzione caratteristica dell'intervallo $[0,\infty)$.
Tale funzione vale 1 in $[0,\infty)$ e 0 altrove.
Perciò in 0 non è continua ma è continua a destra e si ha $f(0)=l_d$[/quote]
Giusto. Ok, grazie, aggirerò l'ostacolo come hai consigliato tu.
Un'ultima cosa: nel teorema di Weierstrass si dimostra che una funzione continua definita in un insieme compatto ha per codominio un insieme compatto. Tralasciando la parte relativa all'appartenenza di un qualsiasi punto di accumulazione y0 ad Y, ho un dubbio.
Sul mio libro c'è scritto che, ovviamente, gli infiniti non sono di accumulazione per Y, senza però addurre motivazioni. Allora ho pensato:
"Dato che X è compatto, esso è al più un'unione numerabile di intervalli, quindi, applicando ad ognuno di essi il teorema di Bolzano (quello normale stavolta
), avremo che l'immagine di ogni intervallo è a sua volta un intervallo. Quindi gli infiniti (a proposito, come si scrivono gli infiniti nelle formule?) non possono appartenere a Y, nè possono essere di accumulazione (per quanto dimostrato nella prima parte del teorema). Quindi, Y è un insieme compatto".E' giusto?
EDIT: come non detto, scrivendo formule è venuta fuori la pagina dove c'è scritto tutto
Ragazzi mi sapete aiutare, a proposito di questo teorema la professoressa mi chiede se eliminassimo l'ipotesi di funzione monotona il teorema non vale fatemi un esempio. Se eliminassimo l'ipotesi che ha per codominio un intervallo anche in questo caos non funziona fornite un esempio.
Aiutatemiiiiiiiiiiiiiiiiiii
Aiutatemiiiiiiiiiiiiiiiiiii
Aiutarti fornendoti dei controesempi sarebbe fortemente diseducativo.
Anche perché gli esempi richiesti sono davvero banali.
Prova a fare 3 esempi di funzioni non monotone il cui codominio è un intervallo. Fatti questi 3 esempi prova a "spaccare" il grafico di queste funzioni per renderle discontinue (se già ne hai una discontinua, non serve, l'esercizio è risolto...)
Prova a fare 3 esempi di funzioni monotone il cui codominio non è un intervallo. Potrebbe essere istruttivo, questo. Cerca di fare esempi semplicissimi.
Anche perché gli esempi richiesti sono davvero banali.
Prova a fare 3 esempi di funzioni non monotone il cui codominio è un intervallo. Fatti questi 3 esempi prova a "spaccare" il grafico di queste funzioni per renderle discontinue (se già ne hai una discontinua, non serve, l'esercizio è risolto...)
Prova a fare 3 esempi di funzioni monotone il cui codominio non è un intervallo. Potrebbe essere istruttivo, questo. Cerca di fare esempi semplicissimi.
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