Dimostrazione teorema integrali Riemann

[Sk_Anonymous]

Ciao, qualcuno può guidarmi nella dimostrazione del teorema sugli integrali di Riemann che afferma che se una funzione ha un numero finito di punti di discontinuità allora è integrabile? Grazie mille

[Sk_Anonymous]

Ciao, nessuno può aiutarmi? Sul libro non la trovo e neanche su internet:-(

[ReDavide]

se intendi il teorema di Vitali su internet probabilmente trovi un po' di cose, magari non in italiano... non è una parte che ho trattato molto in analisi I e quindi non ti sarei d'aiuto in una dimostrazione

[regim]

Ti faccio da tutor sugli integrali.
Devi partire dal teorema principale, cioè una funzione è integrabile se per ogni [tex]\epsilon > 0[/tex] esiste una partizione per cui.......etc etc
Te lo dico a parole senza scrivere formule, che ci si impiega un secolo. Quindi l'obiettivo è trovare quella partizione, allora ne prendi una che ha dei sottointervalli che contengono questi punti, uno per ogni punto. In quelli che non li contengono, sfrutti l'uniforme continuità, in quelli che contegono i punti di discontinuità, sfrutti la norma della partizione, potendo la differenza tra gli estremi superiori e inferiori della funzione in quegli intervalli essere maggiorata in quanto la funzione è limitata.

PS
Più che una dimostrazione è un suggerimento, comunque questo è un teorema piuttosto noto, qualunque testo di analisi che si rispetti ce l'ha, se non ce l'ha cambia testo.

[Sk_Anonymous]

Ciao, il Salsa Pagani, che mi sembra un libro di tutto rispetto, non ce l'ha...comunque, il libro mi suggerisce di fare così: si assuma che la funzione abbia un'unica discontinuità, per esempio in un punto $c$ interno all'intervallo $[a,b]$. Poi mi dice di considerare un intorno abbastanza piccolo di $c$, per esempio $[alfa,beta]$, in modo tale che l'area del rettangolino di base $beta-alfa$*(oscillazione di $f$ in $[alfa, beta]$) sia minore di epsilon. Quindi mi dice di trovare un' opportuna suddivisione dell'intervallo $[a,b]$. Io avevo pensato di fare così. Calcolo una somma superiore da $a$ a $alfa$ ed una somma superiore da $beta$ a $b$. Sommo quindi la somma superiore relativa all'intervallo $[a,alfa]$ con la somma superiore relativa all'intervallo $[beta,b]$. Stessa cosa per le somme inferiori. Ottengo dunque un'unica somma inferiore ed un'unica somma superiore. La differenza tra queste ultime due somme, per ipotesi, deve essere minore di epsilon, poichè la funzione riferita a quegli intervalli è limitata. Ora, siccome la quantità "$beta-alfa$*(oscillazione di $f$ in $[alfa, beta]$)" è minore di epsilon, per quanto detto prima, se sommo alle differenza tra $s$ e $S$ due quantità minori di epsilon, avrò sempre che $S-s

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[regim]

Quella che tu chiami ipotesi è invece la tesi che devi dimostrare. Non so che definizione riporti il salsa dell'oscillazione di una funzione limitata in un punto in cui è definita, ma questa è un valore ben preciso, non lo puoi rendere piccolo a piacere. Ad esempio si dimostra che l'oscillazione di una funzione nei punti di continuità è nulla e viceversa. Nei punti di discontinuità in questo caso, di funzione limitata cioè, è finita ma non nulla, quindi devi ragionare sulla norma della partizione per quei punti.
Supponi di avere [tex]4[/tex]punti, e che la funzione sia in modulo limitata da [tex]10[/tex], [tex]|f(x)|\le 10[/tex].
Prendiamo [tex]\epsilon = 0,1[/tex], devi scegliere adesso una partizione che abbia dei sottointervalli che contengono ciascuno uno di quei 4 punti, di modo che la differenza tra la somma superiore e inferiore sia minore di epsilon, che ampiezze devono avere affinchè ciò accada?

Quale che sia la partizione scelta hai che la differenza tra gli estremi superiori e inferiori della funzione in quei sottointervalli non supera [tex]20[/tex], quindi la somma complessiva delle ampiezze dei sottointervalli che contengono i punti di discontinuità non può eccedere [tex]0,005[/tex] in quanto [tex]20*0,005=0,1[/tex] poichè però abbiamo altri sottointervalli, quelli che non contengono punti di discontinuità, dobbiamo prendere invece di [tex]0,005[/tex] un valore più piccolo, poniamo [tex]0,004[/tex], ci rimane un residuo [tex]\epsilon ^{'} = \epsilon - 20 * 0,004=0,02[/tex], la somma superiore meno quella inferiore calcolata negli altri sottointervalli quindi non può superare [tex]\epsilon ^{'}[/tex], allora possiamo, alla bisogna, aggiungere dei punti raffinando la partizione in modo che si possa applicare l'uniforme continuità, l'ampiezza di quest'ultimi sottointervalli la maggioriamo complessivamente con [tex]b-a[/tex] ma la differenza tra l'estremo superiore(massimo) e l'estremo inferiore(minimo) lo rendiamo per tutti minore di [tex]\epsilon ^{'} \over {b-a}[/tex], questo è possibile grazie all'uniforme continuità, eventualmente aggiungendo dei punti in modo da diminuire la norma.

[Sk_Anonymous]

"regim":Quella che tu chiami ipotesi è invece la tesi che devi dimostrare. Non so che definizione riporti il salsa dell'oscillazione di una funzione limitata in un punto in cui è definita, ma questa è un valore ben preciso, non lo puoi rendere piccolo a piacere.

Ciao, l'oscillazione è fissa, forse non sono stato preciso, però il libro voleva dire che l'area del rettangolino di base $(beta-alfa)$(quantità minore di epsilon) e di altezza pari all'oscillazione (fissa) è minore di epsilon