Dimostrazione teorema di Weiestrass
https://it.m.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Weierstrass
C'è una cosa che non capisco nella dimostrazione, quella con la successione di punti.
Non è forse scritta male? È scritto "s" come estremo superiore e poi è usato come termine di una disequazione, ma non è sbagliato dato che potrebbe essere +infinito?
C'è una cosa che non capisco nella dimostrazione, quella con la successione di punti.
Non è forse scritta male? È scritto "s" come estremo superiore e poi è usato come termine di una disequazione, ma non è sbagliato dato che potrebbe essere +infinito?
Risposte
Beh, ti basta mostrare che se $s=+\infty$ tiri fuori un assurdo.
Non è difficile, anzi è un argomento standard... Prova.
Non è difficile, anzi è un argomento standard... Prova.
La dimostrazione alternativa utilizza la nozione di compattezza, per uno spazio di una dimensione le due dimostrazioni coincidono?
Per i compatti si utilizzano gli aperti e nel teorema di Weiestrass dobbiamo dimostrare che l'immagine sia chiusa (non può essere +infinito come ha detto gugo)
Alla fine si utilizza sempre Bolzano-Weiestrass e le successioni come strumento, vorrei capire se è necessario conoscere il teorema di Heine-Borel ed un po' di topografia per capire il teorema di Weiestrass o non è necessario.
Per i compatti si utilizzano gli aperti e nel teorema di Weiestrass dobbiamo dimostrare che l'immagine sia chiusa (non può essere +infinito come ha detto gugo)
Alla fine si utilizza sempre Bolzano-Weiestrass e le successioni come strumento, vorrei capire se è necessario conoscere il teorema di Heine-Borel ed un po' di topografia per capire il teorema di Weiestrass o non è necessario.
C'è poi da dimostrare che le funzioni continue mandano compatti in compatti che non trovo, che nome ha tale teorema?
Dipende da cosa devi fare... Conoscere la Topologia (e non "topografia") è necessario per capire alcune nozioni avanzate di Analisi Funzione, ad esempio, ma non è indispensabile per altro.
Per il resto, dato che gli spazi interessanti per l'Analisi sono (nella stragrande maggioranza dei casi) spazi metrici, è evidente che in prima battuta potresti concentrarti sulla topologia degli spazi metrici e sulle successioni (perchè negli spazi metrici, così come in $\RR$, le nozioni topologiche si possono caratterizzare usando le successioni).
Per il resto, dato che gli spazi interessanti per l'Analisi sono (nella stragrande maggioranza dei casi) spazi metrici, è evidente che in prima battuta potresti concentrarti sulla topologia degli spazi metrici e sulle successioni (perchè negli spazi metrici, così come in $\RR$, le nozioni topologiche si possono caratterizzare usando le successioni).
Scusa la topografia ce l'ho in testa perché la sto studiando. Esiste un teorema che afferma che le funzioni continue mandano compatti in compatti?
Certo, è una delle proprietà di base delle funzioni continue.
Va bene, ma la definizione di funzione continua dice che per ogni intorno dell'immagine esiste un intorno del codominio, c'entra qualcosa la controimmagine la dimostrazione di questa proprietà?
Se avete un link per una dispensa di topologia semplice scrivetelo per piacere.
Ho capito che mi affascina più di ogni altra scienza al momento, i concetti di elementi, luoghi ed insiemi (c'è poi l'algebra che sembra facile ma è impossibiile da capire, la geometria invece secondo il mio modesto parere è uno studio solamente conseguente a topologia[,insiemistica] ed algebra), avessi più tempo la studierei per bene
Ho capito che mi affascina più di ogni altra scienza al momento, i concetti di elementi, luoghi ed insiemi (c'è poi l'algebra che sembra facile ma è impossibiile da capire, la geometria invece secondo il mio modesto parere è uno studio solamente conseguente a topologia[,insiemistica] ed algebra), avessi più tempo la studierei per bene
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo