Dimostrazione Teorema di Taylor+Lagrange
Non ho capito nulla di come si dimostra. Aiutatemi grazie. 
Risposte
Per quanto riguarda Taylor basta mostrare che il lim_xtox0 omega/(x-x0)^n=0 ma questo si fa applicando n volte il teorema di De L'Hopital e sfruttando il fatto che la funzion per ipotesi è di classe C^n. Per Lagrange il discorso è piu complicato. Ti consiglio il testo di analisi I del Giusti.
è taylor+lagrange o taylor e lagrange? boh io ti metto lagrange, taylor è tr lungo.. 
per lagrange devi dimostrare che esiste un punto $x_0$ tale che se f è continua in $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$ e $f(a)$ diversa da $f(b)$ , $f'(x_0)=(f(b)-f(a))/b-a$
per fare ciò vai a considerare la funzione $h(x)=f(x)+cx$ , cioè aggiungi un parametro non costante per il quale la funzione h abbia gli stessi valori agli estremi, quindi $h(a)=h(b)$
andando a sostituire hai: $f(a)+ca=f(b)+cb$.
calcoli in c e ottieni:$c=-(f(b)-f(a))/b-a$
sostituisci c nella h(x)
fai la derivata prima della funzione h e, per Rolle, sai che esiste un punto $x_0$ tale che la derivata è nulla, quindi $0=f'(x)-(f(b)-f(a))/b-a$,
quindi avrai $f'(x)=(f(b)-f(a))/b-a$
che in termini geometrici vuol dire che esiste almeno un punto in cui la tangente ha la stessa pendenza (cioè parallela) della retta che passa per gli estremi..
scusa se non ti metto taylor ma è moooooooolto più lungo
per lagrange devi dimostrare che esiste un punto $x_0$ tale che se f è continua in $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$ e $f(a)$ diversa da $f(b)$ , $f'(x_0)=(f(b)-f(a))/b-a$
per fare ciò vai a considerare la funzione $h(x)=f(x)+cx$ , cioè aggiungi un parametro non costante per il quale la funzione h abbia gli stessi valori agli estremi, quindi $h(a)=h(b)$
andando a sostituire hai: $f(a)+ca=f(b)+cb$.
calcoli in c e ottieni:$c=-(f(b)-f(a))/b-a$
sostituisci c nella h(x)
fai la derivata prima della funzione h e, per Rolle, sai che esiste un punto $x_0$ tale che la derivata è nulla, quindi $0=f'(x)-(f(b)-f(a))/b-a$,
quindi avrai $f'(x)=(f(b)-f(a))/b-a$
che in termini geometrici vuol dire che esiste almeno un punto in cui la tangente ha la stessa pendenza (cioè parallela) della retta che passa per gli estremi..
scusa se non ti metto taylor ma è moooooooolto più lungo
Scusa ma credo che intendesse il teorema del resto di Lagrange ovvero la formula per il calcolo della funzione resto nello sviluppo della formula di taylor......
Dunque..
riguardo taylor possiamo dire che se approssimiamo f con il polinomio di Taylor di grado $n$ commettiamo un errore $R_n(x)=f(x)-P_n(x)$ dato da:
$R_n(x)=(f^((n+1))(\xi))/((n+1)!)(x-x_0)^(n+1)$
Per questo si dice che $R_n$ è il resto.Si possono avere altre forme per il resto, ad esempio la forma dovuta a Lagrange:
se $f^((n+1))$ è limitata in $(x_0,x)$, ossia $|f^((n+1))(y)|<=C$ per ogni $y$ in $(x_0,x)$ allora
$|R_n|<=C/((n+1)!)|x-x_0|^(n+1)$.
Di conseguenza
$R_n=o((x-x_0)^n)$
che è un modo di scrivere il resto nella forma di Peano.
Incidentalmente, se $x_0=0$ e $\xi\in(0,x)$ viene scritto nella forma $\xi=\thetax, \theta\in(0,1)$, si ottiene
$f(x)=sum_(k=0)^n (f^((k))(x_0))/(k!)x^k+(f^(n+1)(\thetax))/((n+1)!)x^(n+1)
detta formula di Mac Laurin.
riguardo taylor possiamo dire che se approssimiamo f con il polinomio di Taylor di grado $n$ commettiamo un errore $R_n(x)=f(x)-P_n(x)$ dato da:
$R_n(x)=(f^((n+1))(\xi))/((n+1)!)(x-x_0)^(n+1)$
Per questo si dice che $R_n$ è il resto.Si possono avere altre forme per il resto, ad esempio la forma dovuta a Lagrange:
se $f^((n+1))$ è limitata in $(x_0,x)$, ossia $|f^((n+1))(y)|<=C$ per ogni $y$ in $(x_0,x)$ allora
$|R_n|<=C/((n+1)!)|x-x_0|^(n+1)$.
Di conseguenza
$R_n=o((x-x_0)^n)$
che è un modo di scrivere il resto nella forma di Peano.
Incidentalmente, se $x_0=0$ e $\xi\in(0,x)$ viene scritto nella forma $\xi=\thetax, \theta\in(0,1)$, si ottiene
$f(x)=sum_(k=0)^n (f^((k))(x_0))/(k!)x^k+(f^(n+1)(\thetax))/((n+1)!)x^(n+1)
detta formula di Mac Laurin.
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