Dimostrazione teorema di Schwarz. E' corretta ?

[hee136]

Enunciato:

Sia f(x,y) definita nel dominio D. Sia I un un intorno di $P_0(x_0,y_0) in I$
f(x,y) ammetta derivate parziali prime e derivate parziali seconde miste.
Se queste sono continue in $P_0$ allora $(delf(x,y))/(delx dely) (P_0) = (delf(x,y))/(dely delx) (P_0)$ (derivate parziali seconde miste calcolate in $P_0$

Dimostrazione

Parto dalla definizione di continuità delle derivate parziali seconde miste nell'intorno I di $P_0$ (per ipotesi)

$ | (delf(x,y))/(delx dely) (P) - (delf(x,y))/(delx dely) (P_0) | < \epsilon $ (1)
$ | (delf(x,y))/(dely delx) (P) - (delf(x,y))/(dely delx) (P_0) | < \epsilon $ (2)

Attraverso l'applicazione di Lagrange riesco a dimostrare che:
$ (delf(x,y))/(delx dely) (P_1) = (delf(x,y))/(dely delx) (P_2)$
$AA P_1 , P_2 in I$

Ora inizia la parte che non so se è giusta.

Ora prendo le quantità (1) e (2), svolgo entrambi i moduli e ottengo

$ - \epsilon < (delf(x,y))/(delx dely) (P) - (delf(x,y))/(delx dely) (P_0) < \epsilon $
$ - \epsilon < (delf(x,y))/(dely delx) (P) - (delf(x,y))/(dely delx) (P_0) < \epsilon $

Siccome entrambe le quantità devono valere $AA P in I$, calcolo la prima in $P_1$ e la seconda in $P_2$ e ottengo:

$ - \epsilon < (delf(x,y))/(delx dely) (P_1) - (delf(x,y))/(delx dely) (P_0) < \epsilon $
$ - \epsilon < (delf(x,y))/(dely delx) (P_2) - (delf(x,y))/(dely delx) (P_0) < \epsilon $

Ora sottraggo membro a membro e ottengo:

$ 0 < (delf(x,y))/(delx dely) (P_1) - (delf(x,y))/(delx dely) (P_0) - (delf(x,y))/(dely delx) (P_2) + (delf(x,y))/(dely delx) (P_0) < 0 $

Siccome per la prima parte della dimostrazione il primo e il terzo addendo sono uguali, la loro sottrazione sarà zero. Quindi ottengo:

$ 0 < - (delf(x,y))/(delx dely) (P_0) + (delf(x,y))/(dely delx) (P_0) < 0 $

Siccome la quantità in mezzo è sia maggiore, sia minore di zero contemporaneamente, allora sarà per forza uguale a zero

$ - (delf(x,y))/(delx dely) (P_0) + (delf(x,y))/(dely delx) (P_0) = 0 $

da cui segue che le due quantità sono uguali

---------------------

E' corretto ?

[hee136]

Vi pare corretto?
Grazie!

[Fioravante Patrone1]

"hee136":ottengo:

$ - \epsilon < (delf(x,y))/(delx dely) (P_1) - (delf(x,y))/(delx dely) (P_0) < \epsilon $
$ - \epsilon < (delf(x,y))/(dely delx) (P_2) - (delf(x,y))/(dely delx) (P_0) < \epsilon $

Ora sottraggo membro a membro

non si puo'

e infatti:

"hee136":e ottengo:

$ 0 < (delf(x,y))/(delx dely) (P_1) - (delf(x,y))/(delx dely) (P_0) - (delf(x,y))/(dely delx) (P_2) + (delf(x,y))/(dely delx) (P_0) < 0 $

un risultato clamoroso: $0<0$.

[hee136]

Come si può continuare la dimostrazione?

[dissonance]

ma, così a occhio mi pare che grossomodo sia giusto. il problema di $0<0$ te lo puoi scansare così:
se $-epsilon è questo che non andava?

[Dani0lo]

Attraverso l'applicazione di Lagrange riesco a dimostrare che:
$ (partial f(x,y))/(partial x partial y) (P1) = (partial f(x,y))/(partial y partial x) (P2) $

$ AA P1,P2 in I $

scusate se riuppo, ma qualcuno potrebbe spiegarmi meglio questo passaggio, per favore ?
grazie mille