Dimostrazione teorema di Gauss

[manu911]

salve a tutti
volevo chiedervi come è possibile dimostrare il teorema di Gauss sulla divergenza usando il teorema di Gauss-Green
l'ho trovato in un vecchio compito e non ne sto cavando piede
grazie mille a tutti

[Sk_Anonymous]

Teorema della Divergenza (nel piano)
Sia $\vecF:\Omega->RR^2$ un campo vettoriale di classe $C^1$ nell'aperto $\OmegasubeRR^2$. Se $Dsub\Omega$ è un insieme $x$ e $y$ semplice, allora:

$\intint div\vecFdxdy = \int_(delD) \vecF*\nu ds$

dove $div\vecF:=(delF_1)/(delx) + (delF_2)/(dely)$

Dimostrazione
Applicando le Formule di Gauss-Green alle componenti $(F_1,F_2)$ del campo $\vecF$ si ha che:

$\int int (delF_1)/(delx) dxdy=\int_(delD) F_1\nu_1 ds$

$\int int (delF_2)/(dely) dxdy=\int_(delD) F_2\nu_2 ds$

Sommando membro a membro, si ha che:

$\int int ((delF_1)/(delx) + (delF_2)/(dely)) dxdy=\int_(delD) F_1\nu_1 + F_2\nu_2 ds$

da cui la tesi.