Dimostrazione teorema di fermat
ragazzi scusatemi ma non riesco a capire dal grafico una disequazione del teorema che dopo enunciato parte dicendo dal hp che la funzione è derivabile quindi i limiti destri e sinistri del rapporto incrementale coincidono poi nel caso in cui abbiamo un punto di massimo (o minimo) dato in incremento $h$ (definito quindi un intorno in un punto $x_o$ della funzione) si avra che
$f(x_0+h)-f(x_0)<=0$ infatti sul grafico e facilmente verificabile in quanto se ci spostiamo sull' asse del x verso destra essendo in xo un punto di massimo la funzione decrescera'
poi dice preso invece un intorno negativo $-h$ la disequazione sara
$f(x_0+h)-f(x_0)>=0$ ma perche ???
cioè sul grafico essendo in $x_0$ un punto di massimo quindi a destra e a sinistra la funzione decresce se ci mettiamo in $x_0$ quindi la diseguaglianza è sempre minore di zero in quanto in $f(x_0)$ è un punto di massimo
$f(x_0+h)-f(x_0)<=0$ infatti sul grafico e facilmente verificabile in quanto se ci spostiamo sull' asse del x verso destra essendo in xo un punto di massimo la funzione decrescera'
poi dice preso invece un intorno negativo $-h$ la disequazione sara
$f(x_0+h)-f(x_0)>=0$ ma perche ???
cioè sul grafico essendo in $x_0$ un punto di massimo quindi a destra e a sinistra la funzione decresce se ci mettiamo in $x_0$ quindi la diseguaglianza è sempre minore di zero in quanto in $f(x_0)$ è un punto di massimo
Risposte
Premettiamo, se hai un punto di massimo, chiamato $x_0$, allora sulla sinistra di questo punto la funzione è crescente, mentre sulla destra è decrescente.
A questo punto prendi in considerazione il limite sinistro del rapporto incrementale
\(\displaystyle \lim_{h \to 0^-} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \)
Prendiamo poi un qualsiasi punto sulla sinistra di $0$, esso avrà la particolarità di essere negativo, pertanto la somma $x_0+h$ sarà minore di $x_0$, cioè $x_0+h$ si trova sulla sinistra di $x_0$.
Per tale motivo, e per quanto detto sulla monotonia della funzione, si ha di conseguenza
\(\displaystyle x_0+h
\(\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\geq 0 \)
Seguendo lo stesso ragionamento per il limite destro ottieni
\(\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\leq 0 \)
Praticamente le disuguaglianze che hai scritto sono giuste se gli metti un $h$ a denominatore, inoltre non si prende un intorno di $-h$ ma un'intorno sinistro di $0$, ovvero $h \in [-\delta,0]$.
A questo punto prendi in considerazione il limite sinistro del rapporto incrementale
\(\displaystyle \lim_{h \to 0^-} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \)
Prendiamo poi un qualsiasi punto sulla sinistra di $0$, esso avrà la particolarità di essere negativo, pertanto la somma $x_0+h$ sarà minore di $x_0$, cioè $x_0+h$ si trova sulla sinistra di $x_0$.
Per tale motivo, e per quanto detto sulla monotonia della funzione, si ha di conseguenza
\(\displaystyle x_0+h
\(\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\geq 0 \)
Seguendo lo stesso ragionamento per il limite destro ottieni
\(\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\leq 0 \)
Praticamente le disuguaglianze che hai scritto sono giuste se gli metti un $h$ a denominatore, inoltre non si prende un intorno di $-h$ ma un'intorno sinistro di $0$, ovvero $h \in [-\delta,0]$.
"CaMpIoN":
Premettiamo, se hai un punto di massimo, chiamato $x_0$, allora sulla sinistra di questo punto la funzione è crescente, mentre sulla destra è decrescente.
scusami campion ma forse sono io che non capisco ma se ti metti sul cucuzzolo della montagna sia a destra che a sinistra scendi di conseguenza la funzione sia a destra che a sinistra decresce ripeto se ci mettiamo nel punto di massimo quindi quelle
disequazioni devono essere scritte cosi
$f(x_0+h)-f(x_0)<=0$
$f(x_0-h)-f(x_0)<=0$
per $-h$ intendo un intorno di centro $x_0$ e raggio $-\epsilon$
quindi la seconda disequazione diventa $>=$ solo nel momento in cui tu dividi per $-h$
alessandrof: la retta reale si percorre da sinistra a destra. Per cui se $x_0$ è massimo, arrivando da sinistra "sali", dopo "scendi". Le basi dico io, le basi...
Pensa tu se la Compagnia dell'Anello una volta arrivata Moria se ne fosse tornata nella Contea: sai che casino?
Pensa tu se la Compagnia dell'Anello una volta arrivata Moria se ne fosse tornata nella Contea: sai che casino?
"alessandrof10":
[quote="CaMpIoN"]Premettiamo, se hai un punto di massimo, chiamato $x_0$, allora sulla sinistra di questo punto la funzione è crescente, mentre sulla destra è decrescente.
scusami campion ma forse sono io che non capisco ma se ti metti sul cucuzzolo della montagna sia a destra che a sinistra scendi di conseguenza la funzione sia a destra che a sinistra decresce ripeto se ci mettiamo nel punto di massimo quindi quelle
disequazioni devono essere scritte cosi
$f(x_0+h)-f(x_0)<=0$
$f(x_0-h)-f(x_0)<=0$
per $-h$ intendo un intorno di centro $x_0$ e raggio $-\epsilon$
quindi la seconda disequazione diventa $>=$ solo nel momento in cui tu dividi per $-h$[/quote]
Non puoi dire che la funzione decresce solo perché certi valori sono più bassi di un'altro valore, in questo caso puoi dire che la funzione decresce verticalmente, ma parlare di monotònia decrescente è un po' diverso.
Praticamente prima del punto $x_0$ hai la situazione seguente:
\(\displaystyle x_1>x_2 \quad f(x_1)\geq f(x_2)\)
Qui' si parla di monotònia crescente.
Dopo il punto $x_0$ hai invece la situazione seguente:
\(\displaystyle x_1>x_2 \quad f(x_1)\leq f(x_2) \)
Qui si parla di monotònia decrescente.
Da queste seguono poi le due disuguaglianze che in realtà sono uguali, ma questo non ci interessa perché a noi serve il rapporto incrementale che come vedi porta disuguaglianza diverse.
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