Dimostrazione teorema di D' Alembert
Riporto le parole del prof.:
"E' noto che se $\lim_{n \to \infty}|(a_n+1)/a_n|=l$ allora $lim_{n \to \infty}root(n)(|a_n|)=l$.
La tesi segue dal teorema di Cauchy-Hadamard."
Ora a me il fatto che i limiti siano uguali non è tanto chiaro
"E' noto che se $\lim_{n \to \infty}|(a_n+1)/a_n|=l$ allora $lim_{n \to \infty}root(n)(|a_n|)=l$.
La tesi segue dal teorema di Cauchy-Hadamard."
Ora a me il fatto che i limiti siano uguali non è tanto chiaro
Risposte
Per forza, ha un po' barato. Lui sta usando il fatto che se il primo limite esiste allora esso è il reciproco del raggio di convergenza della serie di potenze $\sum a_nx^n$. E quindi esiste pure il secondo limite e sono uguali, ma hai ragione, non sono cose evidenti.
Per dimostrare direttamente la proposizione si possono usare i teoremi di Cesàro. Uno di essi dice che se una successione $x_n > 0$ tende ad un limite $l$, allora anche la successione delle medie geometriche \((x_n\cdot x_{n-1}\cdot \dots \cdot x_0)^{\frac{1}{n}}\) tende ad $l$. Se applichi questo teorema a
\[
x_n=\left\lvert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\rvert, \]
dovresti trovare proprio la conclusione che dice il prof.
Per dimostrare direttamente la proposizione si possono usare i teoremi di Cesàro. Uno di essi dice che se una successione $x_n > 0$ tende ad un limite $l$, allora anche la successione delle medie geometriche \((x_n\cdot x_{n-1}\cdot \dots \cdot x_0)^{\frac{1}{n}}\) tende ad $l$. Se applichi questo teorema a
\[
x_n=\left\lvert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\rvert, \]
dovresti trovare proprio la conclusione che dice il prof.
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