Dimostrazione Teorema di continuità soluzioni eqDiff
Ho provato a fare una dimostrazione diversa da come ho sempre visto del seguente risultato, non è niente di particolare ma è carina, che ne pensate? E' giusta? Qui l'ho scritta un po' di fretta per cui perdonate eventuali sviste
Teorema
Sia $D \subset \mathbb{R}^2$ un dominio del piano. Sia $f(x, y)$ funzione continua su $D$ e lipschitziana rispetto ad $y$. Sia $(x_0, \underline{y} )$ in $D$ fissato e supponiamo che nel rettangolo $R = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : |x - x_0| <= h, |y - \underline{y} | <= l \}$ esista la soluzione $y(x, y_1)$ al problema di Cauchy:
\begin{equation}
\begin{cases}
y' = f( x, y )
\end{cases}
\begin{cases}
y(x_0) = y_1
\end{cases}
\end{equation}
Allora \(\displaystyle y: R \subset \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}\) è continua in entrambe le variabili.
Dimostrazione:
Cominciamo con l'osservare che, fissato $y_1 \in V = [ \underline{y} - l, \underline{y} + l] $, la funzione $y(x, y_1)$ è continua rispetto alla $x$ per il teorema di Cauchy. Esso ci assicura inoltre che, presi $y_1 \ne y_2 \in V$ le soluzioni $y(x, y_1)$ ed $y(x, y_2)$ non possono incontrarsi per $x \in I = [x_0 - h, x_0 + h]$. Questa è una conseguenza al fatto che, nelle ipotesi che abbiamo fatto su $f$, per ogni $x_1 \in I$ e $y_1 \in V$ esiste una ed un'unica funzione che risolve su tutto $I$ il problema di Cauchy con quelle condizioni iniziali.
Detto questo procediamo alla dimostrazione. Sia $y_0 \in V$. Osservo che la soluzione $y(x,y_0)$, essendo continua su $I$, appartiene allo spazio metrico completo $C^0(I)$. Sia $v \in V$ e consideriamo $y(x,v) \in C^0 (I)$. Consideriamo $\epsilon > 0$ e consideriamo $B( y(x,v), \epsilon)$ palla aperta di centro la funzione $y(x, v)$ e raggio $\epsilon$. Supponiamo che $\forall \epsilon_1 : \epsilon > \epsilon_1 > 0$ esista un $w \in [ v - \epsilon_1, v + \epsilon_1 ]$ tale che $y(x, w) \notin B( y(x,v), \epsilon_1)$ ( sto supponendo che $[ v - \epsilon, v + \epsilon ] \subset V$ ma il resto si può riadattare anche nel caso più generale ).
In particolare, per $ \forall n \in N: 1 /n < \epsilon $, esiste $y_n \in [v-1/n, v+1/n]$ tale che la soluzione $y(x, y_n) \not \in B$. Consideriamo dunque la successione di numeri $(y_n)_{n \in N}$ così creata. Osservo che uno dei due insiemi $A = \{ n \in N: y_n < v \}$ e $B=\{ n \in N: y_n > v \}$ è infinito per il principio dei cassetti. Supponiamo senza perdita di generalità che sia $B$, supponiamo inoltre di reindicizzare gli indici in $B$ ordinandoli in senso crescente, ottenendo $(y_{n_k})_{k \in N}$. Per costruzione si ha $ v < y_{n_{k+1}} < y_{n_k}$. Osserviamo che questa successione definisce una successione di funzioni continue ( soluzioni dei rispettivi problemi di Cauchy ) $y(x, y_{n_k})$ tale che, per ogni $x \in I$ si ha $ y(x, v) < y(x, y_{n_{k+1}}) < y(x, y_{n_k})$ ( questo è conseguenza del fatto che le soluzioni non possono incontrarsi in $I$ ). Dunque la successione di funzioni $y(x, y_{n_k})$ è puntualmente monotona decrescente e dunque convergente puntualmente ad una funzione $g(x)$. Per il teorema del Dini la successione di funzioni converge uniformemente verso $g(x)$. Osservo che $g(x_0) = lim_{k \to \infty} y(x_0, y_{n_k}) = v$ per costruzione. Inoltre poiché $f$ è una funzione continua si ha $ g'(x) = lim_{k \to \infty} y'(x, y_{n_k}) = lim_{k \to \infty} f(x, y(x, y_{n_k})) = f(x, g(x))$ ( qui ho anche usato il fatto che, a posteriori, la successione delle derivate converge uniformemente ). Dunque ho che $g(x)$ è una funzione derivabile che risolve il problema di Cauchy con $g(x_0) = v$ e dunque $g= y(x, v)$, assurdo.
Dunque $\forall \epsilon > 0$ esiste $\epsilon_1 : \epsilon > \epsilon_1 > 0 $ tale che $y(x, w) \in B(y(x,v), \epsilon_1)$ per ogni $w \in [ v - \epsilon_1, v- \epsilon_1]$
Sia dunque $(x_1, y_1) \in I $ x $V$ e sia $\epsilon >0$. Allora esiste $\epsilon_1 : \epsilon > \epsilon_1 > 0$ tale che $| y(x_1, y_1) - y(x_1, y_2) | < \epsilon_1 < \epsilon$ per ogni $|y_2 -y_1| < \epsilon_1$. Analogamente esiste $\delta >0$ tale che $|y(x_1, y_1) - y(x, y_1)| < \epsilon$ e $|y(x_1, y_2) - y(x, y_2) | < \epsilon$ per ogni $|x-x_1| < \delta$. Combinando le disuguaglianze si ottiene la tesi.
Teorema
Sia $D \subset \mathbb{R}^2$ un dominio del piano. Sia $f(x, y)$ funzione continua su $D$ e lipschitziana rispetto ad $y$. Sia $(x_0, \underline{y} )$ in $D$ fissato e supponiamo che nel rettangolo $R = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : |x - x_0| <= h, |y - \underline{y} | <= l \}$ esista la soluzione $y(x, y_1)$ al problema di Cauchy:
\begin{equation}
\begin{cases}
y' = f( x, y )
\end{cases}
\begin{cases}
y(x_0) = y_1
\end{cases}
\end{equation}
Allora \(\displaystyle y: R \subset \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}\) è continua in entrambe le variabili.
Dimostrazione:
Cominciamo con l'osservare che, fissato $y_1 \in V = [ \underline{y} - l, \underline{y} + l] $, la funzione $y(x, y_1)$ è continua rispetto alla $x$ per il teorema di Cauchy. Esso ci assicura inoltre che, presi $y_1 \ne y_2 \in V$ le soluzioni $y(x, y_1)$ ed $y(x, y_2)$ non possono incontrarsi per $x \in I = [x_0 - h, x_0 + h]$. Questa è una conseguenza al fatto che, nelle ipotesi che abbiamo fatto su $f$, per ogni $x_1 \in I$ e $y_1 \in V$ esiste una ed un'unica funzione che risolve su tutto $I$ il problema di Cauchy con quelle condizioni iniziali.
Detto questo procediamo alla dimostrazione. Sia $y_0 \in V$. Osservo che la soluzione $y(x,y_0)$, essendo continua su $I$, appartiene allo spazio metrico completo $C^0(I)$. Sia $v \in V$ e consideriamo $y(x,v) \in C^0 (I)$. Consideriamo $\epsilon > 0$ e consideriamo $B( y(x,v), \epsilon)$ palla aperta di centro la funzione $y(x, v)$ e raggio $\epsilon$. Supponiamo che $\forall \epsilon_1 : \epsilon > \epsilon_1 > 0$ esista un $w \in [ v - \epsilon_1, v + \epsilon_1 ]$ tale che $y(x, w) \notin B( y(x,v), \epsilon_1)$ ( sto supponendo che $[ v - \epsilon, v + \epsilon ] \subset V$ ma il resto si può riadattare anche nel caso più generale ).
In particolare, per $ \forall n \in N: 1 /n < \epsilon $, esiste $y_n \in [v-1/n, v+1/n]$ tale che la soluzione $y(x, y_n) \not \in B$. Consideriamo dunque la successione di numeri $(y_n)_{n \in N}$ così creata. Osservo che uno dei due insiemi $A = \{ n \in N: y_n < v \}$ e $B=\{ n \in N: y_n > v \}$ è infinito per il principio dei cassetti. Supponiamo senza perdita di generalità che sia $B$, supponiamo inoltre di reindicizzare gli indici in $B$ ordinandoli in senso crescente, ottenendo $(y_{n_k})_{k \in N}$. Per costruzione si ha $ v < y_{n_{k+1}} < y_{n_k}$. Osserviamo che questa successione definisce una successione di funzioni continue ( soluzioni dei rispettivi problemi di Cauchy ) $y(x, y_{n_k})$ tale che, per ogni $x \in I$ si ha $ y(x, v) < y(x, y_{n_{k+1}}) < y(x, y_{n_k})$ ( questo è conseguenza del fatto che le soluzioni non possono incontrarsi in $I$ ). Dunque la successione di funzioni $y(x, y_{n_k})$ è puntualmente monotona decrescente e dunque convergente puntualmente ad una funzione $g(x)$. Per il teorema del Dini la successione di funzioni converge uniformemente verso $g(x)$. Osservo che $g(x_0) = lim_{k \to \infty} y(x_0, y_{n_k}) = v$ per costruzione. Inoltre poiché $f$ è una funzione continua si ha $ g'(x) = lim_{k \to \infty} y'(x, y_{n_k}) = lim_{k \to \infty} f(x, y(x, y_{n_k})) = f(x, g(x))$ ( qui ho anche usato il fatto che, a posteriori, la successione delle derivate converge uniformemente ). Dunque ho che $g(x)$ è una funzione derivabile che risolve il problema di Cauchy con $g(x_0) = v$ e dunque $g= y(x, v)$, assurdo.
Dunque $\forall \epsilon > 0$ esiste $\epsilon_1 : \epsilon > \epsilon_1 > 0 $ tale che $y(x, w) \in B(y(x,v), \epsilon_1)$ per ogni $w \in [ v - \epsilon_1, v- \epsilon_1]$
Sia dunque $(x_1, y_1) \in I $ x $V$ e sia $\epsilon >0$. Allora esiste $\epsilon_1 : \epsilon > \epsilon_1 > 0$ tale che $| y(x_1, y_1) - y(x_1, y_2) | < \epsilon_1 < \epsilon$ per ogni $|y_2 -y_1| < \epsilon_1$. Analogamente esiste $\delta >0$ tale che $|y(x_1, y_1) - y(x, y_1)| < \epsilon$ e $|y(x_1, y_2) - y(x, y_2) | < \epsilon$ per ogni $|x-x_1| < \delta$. Combinando le disuguaglianze si ottiene la tesi.
Risposte
Più che altro se questa dimostrazione è giusta è anche vero che l'insieme delle soluzioni dell'equazione differenziale $y'=f(x,y)$ con valori iniziali della $y$ in un compatto, è uno spazio metrico compatto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo