Dimostrazione - Teorema di connessione
Non riesco a capire la dimostrazione del teorema di connessione dai miei appunti.
Per prima cosa si mette in luce la seguente proprietà:
(*) Sia $J subseteq RR$. $J$ è un intervallo $hArr$ $AA x_1 , x_2 in J$ , preso $y in [x_1 , x_2]$ , si ha che $y in J$
L'implicazione $Rightarrow$ è banale.
Per dimostrare l'altra implicazione considera $"inf" J$ , $"sup" J$ e vuole dimostrare che:
$[ "inf" J , "sup" J ] supseteq J supseteq ] "inf" J , "sup" J [$
E conclude: un insieme che gode di questa proprietà è un intervallo.
La prop. (*) si presta, mi sembra, ad allacciarsi al teorema dei valori intermedi. Ma poi? Qualcuno potrebbe riordinare queste idee?
Grazie.
Per prima cosa si mette in luce la seguente proprietà:
(*) Sia $J subseteq RR$. $J$ è un intervallo $hArr$ $AA x_1 , x_2 in J$ , preso $y in [x_1 , x_2]$ , si ha che $y in J$
L'implicazione $Rightarrow$ è banale.
Per dimostrare l'altra implicazione considera $"inf" J$ , $"sup" J$ e vuole dimostrare che:
$[ "inf" J , "sup" J ] supseteq J supseteq ] "inf" J , "sup" J [$
E conclude: un insieme che gode di questa proprietà è un intervallo.
La prop. (*) si presta, mi sembra, ad allacciarsi al teorema dei valori intermedi. Ma poi? Qualcuno potrebbe riordinare queste idee?
Grazie.
Risposte
Che definizione usi di intervallo?
"Rigel":
Che definizione usi di intervallo?
Int. chiuso $[ a , b ] := { x in RR : a <= x <= b }$
Int. aperto $] a , b [ := { x in RR : a < x < b }$
Int. semi-aperto a sinistra $] a , b ] := { x in RR : a < x <= b }$
Int. semi-aperto a destra $[ a , b [ := { x in RR : a <= x < b }$
Dovrebbero essere queste le definizioni. (!)
Non ho capito esattamente cosa vuoi sapere.
La proprietà (*) dice che un insieme $J\subset\mathbb{R}$ è un intervallo se e solo se è un sottoinsieme connesso di $\mathbb{R}$.
E' questo che volevi sapere?
La proprietà (*) dice che un insieme $J\subset\mathbb{R}$ è un intervallo se e solo se è un sottoinsieme connesso di $\mathbb{R}$.
E' questo che volevi sapere?
"Rigel":
Non ho capito esattamente cosa vuoi sapere.
La proprietà (*) dice che un insieme $J\subset\mathbb{R}$ è un intervallo se e solo se è un sottoinsieme connesso di $\mathbb{R}$.
E' questo che volevi sapere?
No. Non mi è chiaro come utilizzare questo fatto per dimostrare il teorema di connessione...
Continuo a non capire (sarà che oggi ho mal di testa).
Diciamo, per esemplificare, che tu sappia che $(a,b) \subseteq J \subseteq [a,b]$.
E' chiaro che $J$ è un intervallo, per il semplice fatto che puoi elencare i quattro insiemi che soddisfano questa proprietà, e sono tutti e quatto intervalli.
Diciamo, per esemplificare, che tu sappia che $(a,b) \subseteq J \subseteq [a,b]$.
E' chiaro che $J$ è un intervallo, per il semplice fatto che puoi elencare i quattro insiemi che soddisfano questa proprietà, e sono tutti e quatto intervalli.
Forse mi sono espresso male io. Nei miei appunti, sotto l'enunciato del teorema di connessione (se $f : I -> RR$ è una funzione continua , $I$ è un intervallo, allora $f(I)$ è un punto o un intervallo ), come dimostrazione, c'è la dimostrazione della proprietà (*). Evidententemente (*) c'entra qualcosa nella dimostrazione del teorema di connessione; quindi chiedevo un aiuto per aggiustare un po' le cose e sistemare la dimostrazione.
Ah, adesso ho capito.
Comunque, prendi $y_1, y_2\in f(I)$, diciamo con $y_1 < y_2$. Per definizione di immagine, esistono $x_1, x_2\in I$ t.c. $f(x_1) = y_1$, $f(x_2) = y_2$.
Ma, per il teorema dei valori intermedi, al variare di $x\in [x_1, x_2]$ (o $[x_2, x_1]$, a seconda di come sono disposti), $f$ assumerà tutti i valori dell'intervallo di estremi $y_1$ e $y_2$, quindi $[y_1, y_2] \subset f(I)$.
Comunque, prendi $y_1, y_2\in f(I)$, diciamo con $y_1 < y_2$. Per definizione di immagine, esistono $x_1, x_2\in I$ t.c. $f(x_1) = y_1$, $f(x_2) = y_2$.
Ma, per il teorema dei valori intermedi, al variare di $x\in [x_1, x_2]$ (o $[x_2, x_1]$, a seconda di come sono disposti), $f$ assumerà tutti i valori dell'intervallo di estremi $y_1$ e $y_2$, quindi $[y_1, y_2] \subset f(I)$.
Chiarissimo!
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