Dimostrazione Teorema di Cesaro, assunzione lecita o errata?

[93felipe]

Ciao a tutti, sono in dubbio su quanto possa essere lecita l'assunzione che essendo $(b_n)$ crescente ne viene che ogni $(b_n)<0$, in base a quale criterio si dice che ogni $b_n$ è negativo? nella foto ho cerchiato in giallo il passaggio che non capisco.
(per i mod: Ho inserito una foto anziché inserire il testo all'interno di $$ perché la foto risulta a mio parere molto chiara, spero non venga chiuso il topic)

[ciampax]

Se $b_n$ è crescente e infinitesima, valgono le due condizioni seguenti:
1) $b_n< b_{n+1},\ \forall\ n\in NN$
2) $\forall\ \epsilon>0\ \exists\ n_\epsilon>0\ :\ n>n_\epsilon\ \Rightarrow\ -\epsilon< b_n<\epsilon$

Ora ti chiedo: se ci fosse qualche $b_n>0$ la tua successione potrebbe continuare a soddisfare queste due condizioni contemporaneamente?