Dimostrazione teorema di Cauchy
Ciao, c'è una cosa che non mi è chiara sulla dimostrazione del teorema di Cauchy sulle derivate. Il mio professore (frequento ingegneria) ha detto che per dimostrarlo si introduce una funzione che ha chiamato $\varphi(x)$ che è uguale ad una certa espressione. A questo punto si deriva la funzione e si applica Rolle a questa funzione $\varphi(x)$ e si verifica che la funzione rispetti i 3 requisiti del teorema di Rolle, cioè sia continua e derivabile nell'intervallo e abbia le ordinate estreme uguali. Siccome la funzione rispetta le ipotesi di Rolle, allora esisterà un punto c interno all'intervallo con derivata nulla. Si sostituiscono i dati e dopo passagi algebrici elementari si ottiene che $[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(c)$.
La domanda è: la funzione $\varphi(x)$ dove salta fuori, da dove viene?
La domanda è: la funzione $\varphi(x)$ dove salta fuori, da dove viene?
Risposte
In MathML \$phi\$ e \$varphi\$ producono rispettivamente $phi$ e $varphi$.
In TeX i comandi sono \phi e \varphi che procucono [tex]$\phi$[/tex] e [tex]$\varphi$[/tex] rispettivamente.
In TeX i comandi sono \phi e \varphi che procucono [tex]$\phi$[/tex] e [tex]$\varphi$[/tex] rispettivamente.
Qualcuno può aiutarmi? Quello che non ho capito è da dove viene fuori la funzione ausiliaria con la quale si dimostra il teorema. Grazie, ciao
L'idea è che devi trovare appunto una funzione ausiliaria che soddisfi le ipotesi del teorema di Rolle.
Vuoi arrivare a dire che esiste un [tex]$c\in [a,b]$[/tex] tale che [tex]$[g(b)-g(a)]\ f^\prime (c)=[f(b)-f(a)]\ g^\prime (c)$[/tex], ossia tale che:
(*) [tex]$[g(b)-g(a)]\ f^\prime (c)-[f(b)-f(a)]\ g^\prime (c)=0$[/tex]
e sai che questa cosa la puoi fare uscir fuori col teorema di Rolle. Ciò vuol dire che devi trovare una funzione ausiliaria [tex]$\phi (x)$[/tex] in guisa che:
(1) la derivata sia [tex]$\phi^\prime (x) =[g(b)-g(a)]\ f^\prime (x)-[f(b)-f(a)]\ g^\prime (x)$[/tex];
(2) che [tex]$\phi (a)=\phi (b)$[/tex];
infatti, se verifichi le (1)-(2), per Rolle potrai affermare che esiste [tex]$c\in [a,b]$[/tex] tale che [tex]$\phi^\prime (c) =0$[/tex] e perciò varrà la (*).
Il modo più facile di costruire una tale funzione è prendere qualcosa del tipo:
[tex]$\phi(x) :=[g(b)-g(a)]\ f(x)-[f(b)-f(a)]\ g(x)$[/tex]
e vedere se funziona.
Innanzitutto, la derivata è quella che ti serve; poi hai:
[tex]$\phi (a) = [g(b)-g(a)]\ f(a) -[f(b)-f(a)]\ g(a) = g(b)\ f(a) -f(b)\ g(a)$[/tex]
[tex]$\phi (b) = [g(b)-g(a)]\ f(b) -[f(b)-f(a)]\ g(b) = -g(a)\ f(b) +f(a)\ g(b)$[/tex]
quindi [tex]$\phi (a)=\phi (b)$[/tex], che è proprio quello che ti serviva!
Vuoi arrivare a dire che esiste un [tex]$c\in [a,b]$[/tex] tale che [tex]$[g(b)-g(a)]\ f^\prime (c)=[f(b)-f(a)]\ g^\prime (c)$[/tex], ossia tale che:
(*) [tex]$[g(b)-g(a)]\ f^\prime (c)-[f(b)-f(a)]\ g^\prime (c)=0$[/tex]
e sai che questa cosa la puoi fare uscir fuori col teorema di Rolle. Ciò vuol dire che devi trovare una funzione ausiliaria [tex]$\phi (x)$[/tex] in guisa che:
(1) la derivata sia [tex]$\phi^\prime (x) =[g(b)-g(a)]\ f^\prime (x)-[f(b)-f(a)]\ g^\prime (x)$[/tex];
(2) che [tex]$\phi (a)=\phi (b)$[/tex];
infatti, se verifichi le (1)-(2), per Rolle potrai affermare che esiste [tex]$c\in [a,b]$[/tex] tale che [tex]$\phi^\prime (c) =0$[/tex] e perciò varrà la (*).
Il modo più facile di costruire una tale funzione è prendere qualcosa del tipo:
[tex]$\phi(x) :=[g(b)-g(a)]\ f(x)-[f(b)-f(a)]\ g(x)$[/tex]
e vedere se funziona.
Innanzitutto, la derivata è quella che ti serve; poi hai:
[tex]$\phi (a) = [g(b)-g(a)]\ f(a) -[f(b)-f(a)]\ g(a) = g(b)\ f(a) -f(b)\ g(a)$[/tex]
[tex]$\phi (b) = [g(b)-g(a)]\ f(b) -[f(b)-f(a)]\ g(b) = -g(a)\ f(b) +f(a)\ g(b)$[/tex]
quindi [tex]$\phi (a)=\phi (b)$[/tex], che è proprio quello che ti serviva!
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