Dimostrazione teorema delle contrazioni

[Cuppls1]

Salve a tutti.
Non mi è chiaro l'ultimo passaggio della dimostrazione di questo teorema.
Si arriva a dire che per la completezza dell'insieme esiste $x_o$ t.c $lim_(j->oo) x_j=x_0$,
allora $T(x_0)=T(lim_(j->oo) x_j)$ allora essendo T contrazione (perciò continua) $T(lim_(j->oo) x_j)=lim_(j->oo) T(x_j)$
e avendo costruito ${x_j}_(j in NN)$ in questo modo : $x_(j+1)=T(x_j)$ allora $lim_(j->oo) T(x_j)=lim_(j->oo) x_(j+1) =x_0$
quindi $T(x_0)=x_0$ .
la cosa che non capisco è perchè è vero che se $lim_(j->oo) x_j=x_0$ allora anche $lim_(j->oo) x_(j+1) =x_0$,
sarei d'accordo se per $x_(j+1)$ si intende il j+1-esimo termine della successione, ma se si trattasse di un'altra successione in generale mica è vera questa cosa..
Quindi se mi confondo con la notazione ok, altrimenti mi spiegate?
Grazie!

[dan952]

Se $x_j$ è convergente allora $lim_{j \rightarrow +\infty} d(x_{j+1},x_j)=0$. Poi siamo anche in uno spazio metrico completo dunque una successione è convergente es e solo se soddisfa la condizione di Cauchy

[Cuppls1]

Effettivamente pensandoci bene è proprio così, è come se nella definizione di successione di cauchy $|x_n-x_m| Grazie