Dimostrazione Teorema del Dini
Buonasera, avrei bisogno di un chiarimento riguardo una parte della dimostrazione del Teorema del Dini per funzioni in due variabili, se qualcuno potesse darmi una mano 
.
L'enunciato del teorema è il seguente:
Sia $f: A \subset \RR^2 \rightarrow \RR$, $A \subseteq \R^2$ un aperto. Supponiamo $f$ e $f_y$ continue in $A$
Nel punto $(\bar x, \bar y) \in A$ si abbia $f(\bar x, \bar y) = 0$ e $\partial_y f(\bar x, \bar y) \!= 0$
Allora esistono un intorno $I$ di $\bar x$ ed un'unica funzione $g: I \rightarrow \R$ continua in $I$ tale che $\bar y = g(\bar x)$ e che $f(x, g(x)) = 0$ $\forall x \in I$.
Se inoltre $f_x$ esiste ed è continua in $A$ allora $g \in C^1(I)$ ed inoltre $g'(x) = -\frac{\partial_x f(x, g(x))}{\partial_y f(x, g(x))}$.
Tralasciando la dimostrazione della prima parte del teorema, ho trovato una dimostrazione per il secondo asserto, la condizione sulla derivata prima di $g$, e vorrei essere sicuro che la dimostrazione sia coerente.
Il ragionamento è il seguente:
Chiamo $r(x) = (x, g(x))$ una parametrizzazione della curva $\gamma$, di conseguenza so che $\gamma$ rappresenta una curva di livello per $f$ essendo per ipotesi $f(x, g(x)) = 0$. A questo punto mi trovo nelle condizioni di poter applicare un teorema che a lezione ci è stato presentato come "Lemma del gradiente" che afferma:
Sia $A \subseteq \RR^2$ un aperto, $f: A \rightarrow \RR$ una funzione di classe $C^1(A)$, $r: I \rightarrow \RR^2$ una parametrizzazione di una curva di livello di $f$. Allora $\forall t \in I$ il gradiente di $f$ composto $r$ e la derivata prima di $r$ sono ortogonali. Vale quindi $<\nabla f(r(t)), r'(t)> = 0$
Essendo nel nostro caso $r'(x) = (1 , g'(x))$ ottengo che:
$$<\nabla f(x, g(x)), (1, g(x))> = 0 \Rightarrow \partial_x f + \partial_y f * g'(x) = 0$$
da cui: $g'(x) = - frac{\partial_x f}{\partial_y f}$
Il ragionamento fila o c'è qualche intoppo?
Grazie!
.L'enunciato del teorema è il seguente:
Sia $f: A \subset \RR^2 \rightarrow \RR$, $A \subseteq \R^2$ un aperto. Supponiamo $f$ e $f_y$ continue in $A$
Nel punto $(\bar x, \bar y) \in A$ si abbia $f(\bar x, \bar y) = 0$ e $\partial_y f(\bar x, \bar y) \!= 0$
Allora esistono un intorno $I$ di $\bar x$ ed un'unica funzione $g: I \rightarrow \R$ continua in $I$ tale che $\bar y = g(\bar x)$ e che $f(x, g(x)) = 0$ $\forall x \in I$.
Se inoltre $f_x$ esiste ed è continua in $A$ allora $g \in C^1(I)$ ed inoltre $g'(x) = -\frac{\partial_x f(x, g(x))}{\partial_y f(x, g(x))}$.
Tralasciando la dimostrazione della prima parte del teorema, ho trovato una dimostrazione per il secondo asserto, la condizione sulla derivata prima di $g$, e vorrei essere sicuro che la dimostrazione sia coerente.
Il ragionamento è il seguente:
Chiamo $r(x) = (x, g(x))$ una parametrizzazione della curva $\gamma$, di conseguenza so che $\gamma$ rappresenta una curva di livello per $f$ essendo per ipotesi $f(x, g(x)) = 0$. A questo punto mi trovo nelle condizioni di poter applicare un teorema che a lezione ci è stato presentato come "Lemma del gradiente" che afferma:
Sia $A \subseteq \RR^2$ un aperto, $f: A \rightarrow \RR$ una funzione di classe $C^1(A)$, $r: I \rightarrow \RR^2$ una parametrizzazione di una curva di livello di $f$. Allora $\forall t \in I$ il gradiente di $f$ composto $r$ e la derivata prima di $r$ sono ortogonali. Vale quindi $<\nabla f(r(t)), r'(t)> = 0$
Essendo nel nostro caso $r'(x) = (1 , g'(x))$ ottengo che:
$$<\nabla f(x, g(x)), (1, g(x))> = 0 \Rightarrow \partial_x f + \partial_y f * g'(x) = 0$$
da cui: $g'(x) = - frac{\partial_x f}{\partial_y f}$
Il ragionamento fila o c'è qualche intoppo?
Grazie!
Risposte
[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]
Il punto dirimente è: sai che g è derivabile?
- se sì, quello che descrivi va benissimo per dire che la formula è quella là
- se no, ti attacchi al tram... visto che non puoi usare la regola di derivazione delle funzioni composte se non sai se una delle funzioni componenti soddisfa le ipotesi
- se sì, quello che descrivi va benissimo per dire che la formula è quella là
- se no, ti attacchi al tram... visto che non puoi usare la regola di derivazione delle funzioni composte se non sai se una delle funzioni componenti soddisfa le ipotesi
OK! Perfetto, grazie mille e buon lavoro!
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