Dimostrazione Teorema del Dini
Ho qualche dubbio nella dimostrazione del toerema del Dini, riporto la parte interessante così che possiate aiutarmi a capire.Ho anche i disegni nella dimostrazione quindi è tutto chiaro il procedimento.
\(\displaystyle Sia A \subseteq \Re ^{2} \) Aperto e sia \(\displaystyle g:A \rightarrow \Re e (x_{0},y_{0}) \in A \)
Supponiamo che:
1)g è continua in A
2)\(\displaystyle \exists \frac{\partial g}{\partial y} \)in A e sia continua
3)\(\displaystyle f (x_{0})= y_{0} \)
Tesi: \(\displaystyle \exists \delta , \kappa >0 \subseteq \Re , \exists f:[x_{0}- \delta, x_{0}+\delta] \rightarrow \Re \)
1)\(\displaystyle g(x,f(x))=0 \) in \(\displaystyle [x_{0}- \delta, x_{0}+\delta] \)
2)\(\displaystyle |f(x)-y_{0}|\leq k \)
3)\(\displaystyle f(x_{0})=y_{0} \)
Dimostrazione:
(Prima dimostra che la condizione è solo sufficiente tramite un esempio con derivata della funziona al quadrato)
Considero \(\displaystyle (x_{0}= y_{0}) \). Esiste un intorno di A centrato in \(\displaystyle (x_{0}= y_{0}) \)
Fisso \(\displaystyle g_{y}(x_{0})= y_{0})>0 \) e per la permanenza del segno \(\displaystyle g_{y}(x)= y)>0 \)
\(\displaystyle \exists \rho >0 : \forall (x,y) \in B_{ \delta } (x_{0}, y_{0}) \) e \(\displaystyle g_{y}(x,y)>0 \)
Considero un Quadrato conenuto in \(\displaystyle B_{ \delta } \)
Q=[x_{0}- \kappa, x_{0}+\kappa]x[y_{0}- \kappa, y_{0}+\kappa]
\(\displaystyle \forall (x,y) \in Q \) \(\displaystyle g_{y}(x,y)>0 \)
Considero \(\displaystyle (x_{0},y) \)e vedo che la funzione è strettamente crescente però in\(\displaystyle (x_{0},y_{0})=0 \)
Quindi nel quadrato in corrispondenza di \(\displaystyle x_{0} \) sotto è negativa e sopra positiva (al centro 0)
Adesso tramite la permanenza del segno dimostra che tutto il lato sopra è positivo e tutto il lato sotto negativo.
Per applicare il teorema della permanenza del segno prendo in considerazione l'esistenza di \(\displaystyle \delta_{1} \) e \(\displaystyle \delta_{2} \)
Quindi Scelgo \(\displaystyle \delta=min \) \(\displaystyle \delta_{1},\delta_{2} \)
E nell'intervallo \(\displaystyle [x_{0}- \delta, x_{0}+\delta] \) fisso una\(\displaystyle \widetilde{x} \)
E considerando \(\displaystyle (\widetilde{x} ,y) \) con \(\displaystyle y \in \) \(\displaystyle [y_{0}- \kappa, y_{0}+\kappa] \)
\(\displaystyle g(\widetilde{x},y) \) vale \(\displaystyle g(\widetilde{x},y_{0}-k)<0 \) e \(\displaystyle g(\widetilde{x},y_{0}-k)>0 \)
Per il teorema di esistenza degli zeri, ci sarà solo un punto \(\displaystyle \widetilde{y} \) \(\displaystyle \in \)\(\displaystyle [y_{0}- \kappa, y_{0}+\kappa] \) tale che \(\displaystyle g(\widetilde{x},\widetilde{y})=0 \)
I passaggi mi sono chiari ma non capisco dove verifica i tre punti della tesi. Ne ho capito bene cosa voglia dire il punto 2).
Potreste aiutarmi a capire?
\(\displaystyle Sia A \subseteq \Re ^{2} \) Aperto e sia \(\displaystyle g:A \rightarrow \Re e (x_{0},y_{0}) \in A \)
Supponiamo che:
1)g è continua in A
2)\(\displaystyle \exists \frac{\partial g}{\partial y} \)in A e sia continua
3)\(\displaystyle f (x_{0})= y_{0} \)
Tesi: \(\displaystyle \exists \delta , \kappa >0 \subseteq \Re , \exists f:[x_{0}- \delta, x_{0}+\delta] \rightarrow \Re \)
1)\(\displaystyle g(x,f(x))=0 \) in \(\displaystyle [x_{0}- \delta, x_{0}+\delta] \)
2)\(\displaystyle |f(x)-y_{0}|\leq k \)
3)\(\displaystyle f(x_{0})=y_{0} \)
Dimostrazione:
(Prima dimostra che la condizione è solo sufficiente tramite un esempio con derivata della funziona al quadrato)
Considero \(\displaystyle (x_{0}= y_{0}) \). Esiste un intorno di A centrato in \(\displaystyle (x_{0}= y_{0}) \)
Fisso \(\displaystyle g_{y}(x_{0})= y_{0})>0 \) e per la permanenza del segno \(\displaystyle g_{y}(x)= y)>0 \)
\(\displaystyle \exists \rho >0 : \forall (x,y) \in B_{ \delta } (x_{0}, y_{0}) \) e \(\displaystyle g_{y}(x,y)>0 \)
Considero un Quadrato conenuto in \(\displaystyle B_{ \delta } \)
Q=[x_{0}- \kappa, x_{0}+\kappa]x[y_{0}- \kappa, y_{0}+\kappa]
\(\displaystyle \forall (x,y) \in Q \) \(\displaystyle g_{y}(x,y)>0 \)
Considero \(\displaystyle (x_{0},y) \)e vedo che la funzione è strettamente crescente però in\(\displaystyle (x_{0},y_{0})=0 \)
Quindi nel quadrato in corrispondenza di \(\displaystyle x_{0} \) sotto è negativa e sopra positiva (al centro 0)
Adesso tramite la permanenza del segno dimostra che tutto il lato sopra è positivo e tutto il lato sotto negativo.
Per applicare il teorema della permanenza del segno prendo in considerazione l'esistenza di \(\displaystyle \delta_{1} \) e \(\displaystyle \delta_{2} \)
Quindi Scelgo \(\displaystyle \delta=min \) \(\displaystyle \delta_{1},\delta_{2} \)
E nell'intervallo \(\displaystyle [x_{0}- \delta, x_{0}+\delta] \) fisso una\(\displaystyle \widetilde{x} \)
E considerando \(\displaystyle (\widetilde{x} ,y) \) con \(\displaystyle y \in \) \(\displaystyle [y_{0}- \kappa, y_{0}+\kappa] \)
\(\displaystyle g(\widetilde{x},y) \) vale \(\displaystyle g(\widetilde{x},y_{0}-k)<0 \) e \(\displaystyle g(\widetilde{x},y_{0}-k)>0 \)
Per il teorema di esistenza degli zeri, ci sarà solo un punto \(\displaystyle \widetilde{y} \) \(\displaystyle \in \)\(\displaystyle [y_{0}- \kappa, y_{0}+\kappa] \) tale che \(\displaystyle g(\widetilde{x},\widetilde{y})=0 \)
I passaggi mi sono chiari ma non capisco dove verifica i tre punti della tesi. Ne ho capito bene cosa voglia dire il punto 2).
Potreste aiutarmi a capire?
Risposte
Se qualcuno avesse qualche idea a riguardo gliene sarei grato se la condividesse..
questo é il Dini sulla continuità e stretta monotonia??
io so che basta avere la stretta monotonia e non l'esistenza di una derivata direzionale(cosa che serve nel Dini per le derivate)..
indica che la funzione $f(x)$ considerata è continua in $[x_0-\delta,x_0+\delta]$
"gabry501":
2)\(\displaystyle \exists \frac{\partial g}{\partial y} \)in A e sia continua
io so che basta avere la stretta monotonia e non l'esistenza di una derivata direzionale(cosa che serve nel Dini per le derivate)..
"gabry501":
2)\(\displaystyle |f(x)-y_{0}|\leq k \)
indica che la funzione $f(x)$ considerata è continua in $[x_0-\delta,x_0+\delta]$
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