Dimostrazione Teorema Del Dini

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Ciao a tutti!

In aula qualche mese fa facemmo una dimostrazione del teorema del Dini nella quale si applicava il teorema di Lagrange per le funzioni a più variabili, al quale non abbiamo dedicato neanche 2 minuti del nostro tempo...

L'enunciato è il seguente:

Se:

$ fin C^1(A) $

$ f(x_0,y_0)=0 $

$ f_y(x_0,y_0)!=0 $

Allora:



$ EE\quad delta ,k>0:AA x in [x_0-delta,x_0+delta]\quad EE !\quadg(x)in [y_0-k,y_0+k]:f(x,g(x))=0 $

Inoltre $ g(x) $ è sicuramente derivabile e:

$ g'(x)=-(f_x(x,g(x)))/(f_y(x,g(x))) $

DIMOSRAZIONE:

La dimostrazione da lui fatta aggiunge un'ipotesi " di comodo", ossia: $ f(x_0,y_0)>0 $

In un primo momento ha dimostrato l'esistenza e l'unicità dell'unica funzione implicita $ g(x) $ tale che $ f(x,g(x))=0 $

Fin qui ci sono, in quanto ci sono varie dimostrazioni, come quella sul mio libro, molto simili, che mi hanno permesso di studiare fin ad arrivare a questo punto.

Successivamente il prof ha proseguito il questo modo:

$ f(x,g(x))=0 $ per costruzione, quindi:

$ f(x +Delta x,g(x+Delta x))=0 $ ugualmente, quindi:

$ f(x +Delta x,g(x+Delta x))-f(x,g(x))=0 $

e

$ g(x+Delta x)=g(x) +Deltag $

Quindi:

$ 0=f(x+Deltax,g(x)+Deltag)-f(x,g(x))= f_x(x+thetaDeltax,y+thetaDeltag)Deltax+f_y(x+thetaDeltax,y+thetaDeltag)Deltag $

Con $ theta in (0,1) $

Poi la dimostrazione continua, ma qui non ho capito una cosa... Come arrivo alle derivate parziali?
Un collega mi ha detto che ha usato Lagrange, nonostante in aula l'abbiamo sentito pronunciare mezza volta e sugli appunti del prof non ho trovato neanche un enunciato di questo teorema... Qualcuno potrebbe aiutarmi? Grazie anticipatamente!

[Luca9712]

Se provi a fare una ricerca interna nel sito sono sicuro che risolvi .