Dimostrazione Teorema del Differenziale Totale
Dato l'enunciato con tutte le sue ipotesi, la tesi è la seguente:
\[ \lim_{(h,k) \to (0,0)} =\frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)h-f_y(x_0,y_0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0\]
Non sono sicuro di aver capito questa dimostrazione, per cui la riscrivo per come l'ho capita e correggetemi se c'è qualcosa di sbagliato..!
Il numeratore lo posso scrivere come
\[f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)h-f_y(x_0,y_0)k+f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0+k)\]
Ho, in sostanza, tolto e aggiunto la quantità $f(x_0,y_0+k)$.
A questo punto, introducendo le funzioni $\phi(t)=f(t,y_0+k)$ e $\psi(s)=(x_0,s)$ con $t$ ed $s$ bla bla, posso scrivere queste due uguaglianze
\[f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0+k)=\phi(x_0+h)-\phi(x_0)\]
\[f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0)=\psi(y_0+k)-\psi(y_0)\]
Dunque posso scrivere che
\[f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=\phi(x_0+h)-\phi(x_0)+\psi(y_0+k)-\psi(y_0)\]
Poiché $\phi$ e $\psi$ sono derivabili perché bla bla posso applicare il Teorema di Lagrange. Dunque esiste $\xi$ tale che $\\phi(x_0+h)-\phi(x_0)=\phi'(\xi)$ e $\eta$ tale che $psi(y_0+k)-\psi(y_0)=\psi'(\eta)$ con $\xi$ ed $\eta$ appartenenti bla bla.
Con le dovute sostituzioni ottengo quindi
\[ \lim_{(h,k) \to (0,0)} =\frac{h \left[ f_x(\eta,y_0+k)-f_x(x_0,y_0) \right] +k \left[ f_y(x_0,\xi)-f_y(x_0,y_0) \right]}{\sqrt{h^2+k^2}}=0\]
per la continuità delle derivate parziali e per i rapporti minori o uguali ad $1$.
Dunque resta dimostrata la tesi.
\[ \lim_{(h,k) \to (0,0)} =\frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)h-f_y(x_0,y_0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0\]
Non sono sicuro di aver capito questa dimostrazione, per cui la riscrivo per come l'ho capita e correggetemi se c'è qualcosa di sbagliato..!
Il numeratore lo posso scrivere come
\[f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)h-f_y(x_0,y_0)k+f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0+k)\]
Ho, in sostanza, tolto e aggiunto la quantità $f(x_0,y_0+k)$.
A questo punto, introducendo le funzioni $\phi(t)=f(t,y_0+k)$ e $\psi(s)=(x_0,s)$ con $t$ ed $s$ bla bla, posso scrivere queste due uguaglianze
\[f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0+k)=\phi(x_0+h)-\phi(x_0)\]
\[f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0)=\psi(y_0+k)-\psi(y_0)\]
Dunque posso scrivere che
\[f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=\phi(x_0+h)-\phi(x_0)+\psi(y_0+k)-\psi(y_0)\]
Poiché $\phi$ e $\psi$ sono derivabili perché bla bla posso applicare il Teorema di Lagrange. Dunque esiste $\xi$ tale che $\\phi(x_0+h)-\phi(x_0)=\phi'(\xi)$ e $\eta$ tale che $psi(y_0+k)-\psi(y_0)=\psi'(\eta)$ con $\xi$ ed $\eta$ appartenenti bla bla.
Con le dovute sostituzioni ottengo quindi
\[ \lim_{(h,k) \to (0,0)} =\frac{h \left[ f_x(\eta,y_0+k)-f_x(x_0,y_0) \right] +k \left[ f_y(x_0,\xi)-f_y(x_0,y_0) \right]}{\sqrt{h^2+k^2}}=0\]
per la continuità delle derivate parziali e per i rapporti minori o uguali ad $1$.
Dunque resta dimostrata la tesi.
Risposte
Il trucco di aggiungere e togliere la quantità $ f(x_0,y_0+k)$ permette di scomporre la variazione totale della funzione come somma di due variazioni :
* l'una $f(x_0+h,y_0+k) - f(x_0,y_0+k)$ che avviene solo lungo l'asse $x $
* l'altra $f(x_0,y_0+k) -f(x_0,y_0) $ che avviene solo lungo l'asse $ y $
riducendosi così a variazioni dipendenti da una sola variabile e potendo applicare così il Teorema di Lagrange per funzioni di una variabile.
Naturalemnte l'ipotesi del Teorema del differenziale totale i.e. esistenza e continuità delle derivate parziali è una condizione sufficiente ma non necessaria per la differenziabilità della funzione.
* l'una $f(x_0+h,y_0+k) - f(x_0,y_0+k)$ che avviene solo lungo l'asse $x $
* l'altra $f(x_0,y_0+k) -f(x_0,y_0) $ che avviene solo lungo l'asse $ y $
riducendosi così a variazioni dipendenti da una sola variabile e potendo applicare così il Teorema di Lagrange per funzioni di una variabile.
Naturalemnte l'ipotesi del Teorema del differenziale totale i.e. esistenza e continuità delle derivate parziali è una condizione sufficiente ma non necessaria per la differenziabilità della funzione.
"Camillo":
Il trucco di aggiungere e togliere la quantità $ f(x_0,y_0+k)$ permette di scomporre la variazione totale della funzione come somma di due variazioni :
* l'una $f(x_0+h,y_0+k) - f(x_0,y_0+k)$ che avviene solo lungo l'asse $x $
* l'altra $f(x_0,y_0+k) -f(x_0,y_0) $ che avviene solo lungo l'asse $ y $
riducendosi così a variazioni dipendenti da una sola variabile e potendo applicare così il Teorema di Lagrange per funzioni di una variabile.
Grazie per la precisazione, lo avevo scritto negli appunti ma lo avevo saltato (non chiedermi perché, non lo so). Dunque l'ho capita bene la dimostrazione?
"Camillo":
Naturalemnte l'ipotesi del Teorema del differenziale totale i.e. esistenza e continuità delle derivate parziali è una condizione sufficiente ma non necessaria per la differenziabilità della funzione.
Sì, questo l'avevo capito.
Grazie!
Quando scrivi " con le dovute sostituzioni " diciamo che sei un po' sbrigativo 
La parte finale della dimostrazione mostra appunto che l'incremento di $ f$ cioè $f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0.y_0)$
è uguale all'incremento della funzione calcolato lungo il piano tangente, cioè $ f_x(x_0,y_0)*h+f_y(x_0,y_0)*k $
più un infinitesimo di ordine superiore rispetto alla lunghezza dell'incremento $(h,k)$ delle variabili indipendenti :$sqrt(h^2+k^2)$.
Pertanto la funzione è differenziabile.
La parte finale della dimostrazione mostra appunto che l'incremento di $ f$ cioè $f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0.y_0)$
è uguale all'incremento della funzione calcolato lungo il piano tangente, cioè $ f_x(x_0,y_0)*h+f_y(x_0,y_0)*k $
più un infinitesimo di ordine superiore rispetto alla lunghezza dell'incremento $(h,k)$ delle variabili indipendenti :$sqrt(h^2+k^2)$.
Pertanto la funzione è differenziabile.
"Camillo":
Quando scrivi " con le dovute sostituzioni " diciamo che sei un po' sbrigativo
La parte finale della dimostrazione mostra appunto che l'incremento di $ f$ cioè $f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0.y_0)$
è uguale all'incremento della funzione calcolato lungo il piano tangente, cioè $ f_x(x_0,y_0)*h+f_y(x_0,y_0)*k $
più un infinitesimo di ordine superiore rispetto alla lunghezza dell'incremento $(h,k)$ delle variabili indipendenti :$sqrt(h^2+k^2)$.
Pertanto la funzione è differenziabile.
Vabbè sono stato sbrigativo qui sul forum (ho anche scritto qualche "bla bla" per sostituire cose abbastanza ovvie). Ovviamente sarò preciso all'esame, ci mancherebbe!
Grazie ancora!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo