Dimostrazione teorema abel complessi (parte serie delle derivate)

[Giorgio_901]

Salve ragazzi, avrei bisogno di una dimostrazione che non riesco a trovare da nessuna parte. Si dimostra infatti che in caso di serie di potenze (nei complessi) con raggio di convergenza R anche la serie delle derivate converge con lo stesso raggio. la somma della serie delle derivate é uguale alla derivata dalla somma della serie di partenza. Avrei bisogno di dimostrare questo ultimo passaggio ("ovvero la somma della serie delle derivate é uguale alla derivata dalla somma della serie di partenza") utilizzando la definizione di limite del rapporto incrementale (mi accontento di qualcosa di equivalente). Mi hanno detto che tale dimostrazione si trova nel di bari vetro ma non ho tale libro. Qualcuno puó darmi una mano? Grazie

[Giorgio_901]

nessun aiuto ragazzi?

[iH8u]

Supponiamo che la serie di potenza:

$ f(x)=sum_(n = 0)^(∞) a_n(x-c)^n $ con $ |x-c|

ha raggio di convergenza $ R>0 $ e somma $ f $. Allora $ f $ è differenziabile in $ |x-c|

$ f'(x)=sum_(n = 0)^(∞) na_n(x-c)^(n-1) $ con $ |x-c|

Dimostrazione:

Siccome $ sum_(n = 0)^(∞) a_n(x-c)^n $ ha raggio $ R $ di convergenza, allora anche la serie di potenza $ sum_(n = 0)^(∞) na_n(x-c)^(n-1) $ ha raggio $ R $ di convergenza, pertanto $ f $ converge in $ |x-c| R $, tale $ f_n -> f $ e $ f_n' -> g $ uniformemente per $ f,g : (a,b) -> R$, allora è differenziabile su $ (a,b) $ e $ f'=g $, possiamo concludere $ f $ è differenziabile in $ |x-c|< rho $ e $ f' = g $, e siccome è valido per ogni $ 0 < rho < R $ allora segue che $ f $ è differenziabile in $ |x-c|

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dissonance

3 mag 2014, 10:00

@iH8u: veramente non si capisce molto della tua dimostrazione. A partire da "sia ora \(g=\ldots\)" si perde il filo. Vuoi provare a riformulare, sforzandoti di essere un po' più chiaro? (PS: Si dice "serie di potenze", non "di potenza". Si intende una somma di vari termini, ciascuno dei quali è una potenza).

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garnak.olegovitc1

3 mag 2014, 10:29

@Giorgio_90,

"Giorgio_90":Mi hanno detto che tale dimostrazione si trova nel di bari vetro ma non ho tale libro.

quale volume? Vol. 1? Vol. 2?

Saluti

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iH8u

8 mag 2014, 01:31

"dissonance":@iH8u: veramente non si capisce molto della tua dimostrazione. A partire da "sia ora \(g=\ldots\)" si perde il filo. Vuoi provare a riformulare, sforzandoti di essere un po' più chiaro? (PS: Si dice "serie di potenze", non "di potenza". Si intende una somma di vari termini, ciascuno dei quali è una potenza).

Chiedo scusa, non sono italiano

Tento ti essere più chiaro:

$ (1.0) $ Lemma. La serie di potenze $ sum_(n = 0)^(∞) a_n(x-c)^n $ ha raggio di convergenza uguale a 1.

$ (1.1) $ Lemma. Sia $ sum_(n = 0)^(∞) a_n(x-c)^n $ una serie di potenze. Allora le due serie $ sum_(n = 0)^(∞) a_n(x-c)^n $ e $ sum_(n = 0)^(∞) na_n(x-c)^(n-1) $ hanno lo stesso raggio di convergenza.

Dimostrazione:

Dimostriamo che $ AAw,vinC\\{0}, $ si ha:

a) Se la serie $ sum_(n = 0)^(∞) |na_nw^(n-1)| $ converge, allora anche $ sum_(n = 0)^(∞) |a_nw^(n)| $ converge.
b) Se la serie $ sum_(n = 0)^(∞) |na_nw^(n)| $ converge e $ |v|<|w| $, allora anche $ sum_(n = 0)^(∞) |na_nv^(n-1)| $ converge.

A segue immediatamente dal criterio del confronto:

$ |a_nw^n|<=|na_nw^(n-1)|*|w|, AAninmathbb(Z) ^+ $.

Per provare b), supponiamo $ sum_(n = 0)^(∞) |na_nw^(n)| $ converge e $ |v|<|w| $, da $ (1.1) $, si ha che $ sum_(n = 0)^(∞) n|v/w|^(n) $ converge, e quindi $ n|v/w|^n $ è limitata.
Scegliendo $ M in mathbb(R) ^+ $, si ha:

$ n|v/w|^n <= M $ $ AA n in mathbb(N) $

Allora, $ n|v|^n < M|w^n| $, e

$ |a_n$$n|v|^(n-1)|<=|a_nw^n|*M/|v| $ , $ AA n in mathbb(N) $

Per il test del confronto la serie $ sum_(n = 0)^(∞) |na_nv^(n-1)| $ converge.

$(1.2)$ Corollario. $ sum_(n = 0)^(∞) a_nz^(n) $ e $ sum_(n = 0)^(∞) a_n(n-1)z^(n-2) $ hanno lo stesso raggio di convergenza.

$1.3$ Teorema. Sia $ sum_(n = 0)^(∞) c_nz^(n) $ una serie di potenze con raggio di convergenza positivo, sia $ f(z) = sum_(n = 0)^(∞) c_nz^(n) $ , $ AAz $ nel disco di convergenza per $ f $ e sia $Df(z) = sum_(n = 0)^(∞) nc_nz^(n-1)$ la funzione derivata di $ sum_(n = 0)^(∞) c_nz^(n) $. Allora $f$ è derivabile sul suo disco di convergenza e $f'(a)=Df(a)$ , $AAa$ nel disco di convergenza.

Dimostrazione:

Siano $ a, z $ due punti nel disco di convergenza (e siccome $z^0 = a^0 $), allora:

$ f(z) - f(a) = sum_(n = 0)^(∞) c_nz^(n) - sum_(n = 0)^(∞) c_na^(n) = $
$ = sum_(n = 1)^(∞) c_n(z^n-a^n) = $
$ = sum_(n = 1)^(∞) c_n(z-a) sum_(j = 0)^(n-1) z^(n-1-j)a^j = $
$ = (z-a)sum_(n = 1)^(∞) c_n sum_(j = 0)^(n-1) z^(n-1-j)a^j $

Sia:

$D_af(z)=sum_(n = 1)^(∞) c_n sum_(j = 0)^(n-1) z^(n-1-j)a^j$

Allora:

$f(z)-f(a)=(z-a)D_af(z)$

e siccome:

$D_af(a)=sum_(n = 1)^(∞) c_n sum_(j = 0)^(n-1) a^(n-1)=sum_(n=1)^(∞) c_n na^(n-1)=Df(a)$

Rimane da dimostrare che $Df(a)$ sia continua, considerando che:

a) per $n=1$, si ha, $ sum_(j = 0)^(n-1) z^(n-1-j)a^j-sum_(j = 0)^(n-1) z^(n-1-j)a^j=0 $
b) per $j=n-1$, si ha, $ z^(n-1-j) - a^(n-1-j) = 0$.

$D_af(z) - D_af(a) = (z-a)sum_(n=2)^(∞) c_n sum_(j = 0)^(n-2)sum_(k = 0)^(n-2-j) z^(n-2-j-k)a^(j+k)$ $(1.4)$

Sia ora il raggio di convergenza della serie di potenze $R$, e $epsi = (R-|a|)/2$, allora:

$|z-a|$ $ |z|-|a|<=|z-a|
Sia $S = (R+|a|)/2 < R$, allora $|a| |z-a|
$=> |z-a| sum_(n=2)^(∞)|c_nsum_(j=0)^(n-2)sum_(k=2)^(n-2-j)z^(n-2-j-k)a^(j+k)|<=sum_(n=2)^(∞)|c_n|S^(n-2)*n(n-1)$

Per $(1.2)$ la serie $ sum_(n = 0)^(∞) n(n-1)c_nz^(n-2) $ ha raggio di convergenza R, e quindi $ sum_(n = 0)^(∞) |c_n|S^(n-2)n(n-1)_n>2$ converge ed ha limite $M$, e da $1.4$,

$|D_af(z) - D_af(a)|<|z-a|*M$, quando $|z-a|

Se $w_n$ è una successione in $dom(D_af)$, cosicché $w_n->a$, allora;

$|D_af(w_n) - D_af(a)|<|w_n-a|*M$

$D_af(w_n)->D_af(a)$, quindi, $D_af$ è continua in $a$.

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gio73

8 mag 2014, 10:10

[quote=iH8u], non sono italiano [quote]
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[dissonance]

@iH8u: veramente non si capisce molto della tua dimostrazione. A partire da "sia ora \(g=\ldots\)" si perde il filo. Vuoi provare a riformulare, sforzandoti di essere un po' più chiaro? (PS: Si dice "serie di potenze", non "di potenza". Si intende una somma di vari termini, ciascuno dei quali è una potenza).

[garnak.olegovitc1]

@Giorgio_90,

"Giorgio_90":Mi hanno detto che tale dimostrazione si trova nel di bari vetro ma non ho tale libro.

quale volume? Vol. 1? Vol. 2?

Saluti

[iH8u]

"dissonance":@iH8u: veramente non si capisce molto della tua dimostrazione. A partire da "sia ora \(g=\ldots\)" si perde il filo. Vuoi provare a riformulare, sforzandoti di essere un po' più chiaro? (PS: Si dice "serie di potenze", non "di potenza". Si intende una somma di vari termini, ciascuno dei quali è una potenza).

Chiedo scusa, non sono italiano

Tento ti essere più chiaro:

$ (1.0) $ Lemma. La serie di potenze $ sum_(n = 0)^(∞) a_n(x-c)^n $ ha raggio di convergenza uguale a 1.

$ (1.1) $ Lemma. Sia $ sum_(n = 0)^(∞) a_n(x-c)^n $ una serie di potenze. Allora le due serie $ sum_(n = 0)^(∞) a_n(x-c)^n $ e $ sum_(n = 0)^(∞) na_n(x-c)^(n-1) $ hanno lo stesso raggio di convergenza.

Dimostrazione:

Dimostriamo che $ AAw,vinC\\{0}, $ si ha:

a) Se la serie $ sum_(n = 0)^(∞) |na_nw^(n-1)| $ converge, allora anche $ sum_(n = 0)^(∞) |a_nw^(n)| $ converge.
b) Se la serie $ sum_(n = 0)^(∞) |na_nw^(n)| $ converge e $ |v|<|w| $, allora anche $ sum_(n = 0)^(∞) |na_nv^(n-1)| $ converge.

A segue immediatamente dal criterio del confronto:

$ |a_nw^n|<=|na_nw^(n-1)|*|w|, AAninmathbb(Z) ^+ $.

Per provare b), supponiamo $ sum_(n = 0)^(∞) |na_nw^(n)| $ converge e $ |v|<|w| $, da $ (1.1) $, si ha che $ sum_(n = 0)^(∞) n|v/w|^(n) $ converge, e quindi $ n|v/w|^n $ è limitata.
Scegliendo $ M in mathbb(R) ^+ $, si ha:

$ n|v/w|^n <= M $ $ AA n in mathbb(N) $

Allora, $ n|v|^n < M|w^n| $, e

$ |a_n$$n|v|^(n-1)|<=|a_nw^n|*M/|v| $ , $ AA n in mathbb(N) $

Per il test del confronto la serie $ sum_(n = 0)^(∞) |na_nv^(n-1)| $ converge.

$(1.2)$ Corollario. $ sum_(n = 0)^(∞) a_nz^(n) $ e $ sum_(n = 0)^(∞) a_n(n-1)z^(n-2) $ hanno lo stesso raggio di convergenza.

$1.3$ Teorema. Sia $ sum_(n = 0)^(∞) c_nz^(n) $ una serie di potenze con raggio di convergenza positivo, sia $ f(z) = sum_(n = 0)^(∞) c_nz^(n) $ , $ AAz $ nel disco di convergenza per $ f $ e sia $Df(z) = sum_(n = 0)^(∞) nc_nz^(n-1)$ la funzione derivata di $ sum_(n = 0)^(∞) c_nz^(n) $. Allora $f$ è derivabile sul suo disco di convergenza e $f'(a)=Df(a)$ , $AAa$ nel disco di convergenza.

Dimostrazione:

Siano $ a, z $ due punti nel disco di convergenza (e siccome $z^0 = a^0 $), allora:

$ f(z) - f(a) = sum_(n = 0)^(∞) c_nz^(n) - sum_(n = 0)^(∞) c_na^(n) = $
$ = sum_(n = 1)^(∞) c_n(z^n-a^n) = $
$ = sum_(n = 1)^(∞) c_n(z-a) sum_(j = 0)^(n-1) z^(n-1-j)a^j = $
$ = (z-a)sum_(n = 1)^(∞) c_n sum_(j = 0)^(n-1) z^(n-1-j)a^j $

Sia:

$D_af(z)=sum_(n = 1)^(∞) c_n sum_(j = 0)^(n-1) z^(n-1-j)a^j$

Allora:

$f(z)-f(a)=(z-a)D_af(z)$

e siccome:

$D_af(a)=sum_(n = 1)^(∞) c_n sum_(j = 0)^(n-1) a^(n-1)=sum_(n=1)^(∞) c_n na^(n-1)=Df(a)$

Rimane da dimostrare che $Df(a)$ sia continua, considerando che:

a) per $n=1$, si ha, $ sum_(j = 0)^(n-1) z^(n-1-j)a^j-sum_(j = 0)^(n-1) z^(n-1-j)a^j=0 $
b) per $j=n-1$, si ha, $ z^(n-1-j) - a^(n-1-j) = 0$.

$D_af(z) - D_af(a) = (z-a)sum_(n=2)^(∞) c_n sum_(j = 0)^(n-2)sum_(k = 0)^(n-2-j) z^(n-2-j-k)a^(j+k)$ $(1.4)$

Sia ora il raggio di convergenza della serie di potenze $R$, e $epsi = (R-|a|)/2$, allora:

$|z-a|$ $ |z|-|a|<=|z-a|
Sia $S = (R+|a|)/2 < R$, allora $|a| |z-a|
$=> |z-a| sum_(n=2)^(∞)|c_nsum_(j=0)^(n-2)sum_(k=2)^(n-2-j)z^(n-2-j-k)a^(j+k)|<=sum_(n=2)^(∞)|c_n|S^(n-2)*n(n-1)$

Per $(1.2)$ la serie $ sum_(n = 0)^(∞) n(n-1)c_nz^(n-2) $ ha raggio di convergenza R, e quindi $ sum_(n = 0)^(∞) |c_n|S^(n-2)n(n-1)_n>2$ converge ed ha limite $M$, e da $1.4$,

$|D_af(z) - D_af(a)|<|z-a|*M$, quando $|z-a|

Se $w_n$ è una successione in $dom(D_af)$, cosicché $w_n->a$, allora;

$|D_af(w_n) - D_af(a)|<|w_n-a|*M$

$D_af(w_n)->D_af(a)$, quindi, $D_af$ è continua in $a$.

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[gio73]

[quote=iH8u], non sono italiano [quote]
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